中国科学院研究生院 2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:线性代数
考生须知:
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟. 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效.
1. (10分)计算行列式
x y z u u x y z z u x y y z u x
2. (15分)已知两个 n 阶矩阵
1 0 A=M 0 0
求解矩阵方程 AX = B .
1 1 M 0 0
L L O L L
1 1 M 1 0
1 2 1 1 , B = M M 1 0 0 1
1 2 M 0 0
L L O L L
0 0 M 2 1
0 0 M 1 2
3. (20分) C ( A) 表示全体与 n 阶矩阵 A 可交换的矩阵构成的集合. 1) 证明 C ( A) 是线性空间; 2) 若
1 0 0 L 0 0 2 0 L 0 A= L L L L L 0 0 0 L n ,
求向量空间 C ( A) 的维数和基. 4. (15分)设 V 是由所有次数不超过 n 的多项式构成的线性空间,证明
1, ( x + 1), ( x + 1) 2 , L , ( x + 1) n , 科目名称:线性代数 第1页 共2页
是 V 的一组基,并求 V 中向量 f ( x ) = a0 x + a1 x
n
n 1
+ L + an1 x + an 在这组基下的坐标.
2 2 4 5. (25分)设 S = 2 1 2 , 4 2 2
1)求正交矩阵 T 使 T ' ST 成对角形; 2)求最小的正实数 c ,使得当 a > c 时, aI + S 是正定矩阵,而 aI + S 是负定矩阵, 其中 I 是 3 阶单位矩阵.
1 0 6. (20分)设 A = 0 0 1) A 的若当形; 2) A5 .
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 ,求 2 1
7. (15分)设 a, b, c 是常数,当 a, b, c 满足什么关系时,方程组
a 1 1 x = y + z b 1 1 = + y x z c = 1 + 1 z x y
有解,反之,当方程组有解时,这个关系一定满足 8. (15分)已知 α = (1,1, 1)' 是矩阵
2 1 2 A= 5 a 3 1 b 2
的一个特征向量,试确定参数 a, b 及特征向量 α 所对应的特征值.矩阵 A 能否相似于对角矩 阵 说明理由. 9. (15分) 设 A 是实对称矩阵, a, b 分别是 A 的最小和最大特征值,证明: A 的所有对角 线元素都介于 a, b 之间.
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