第九章 线性代数及其应用
在科学研究和实际生产中,碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系,因此,线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念,性质和运算.
§9.1 行列式的概念与计算
一,二阶,三阶行列式
用消元法解二元线性方程组 (9.1)
当时,得 ,
为了便于记忆,我们引进二阶行列式的概念.
1.二阶行列式的定义
定义1 用个数组成的记号 ,表示数值,称为二阶行列式,称为行列式的元素,横排称行,竖排称列.
利用二阶行列式的概念,当二元线性方程组(9.1)的系数组成的行列式时,它的解可以用行列式表示为

其中和是以分别替换系数行列式中第一列,第二列的元素所得到的两个二阶行列式.
例1 用行列式解线性方程组 .
解 因为, ,.
所以 .
类似地,用个数组成的记号 ,表示数值
称为三阶行列式,即
.
它是由3行3列共9个元素构成,是6项代数和.这9个元素排成3行3列,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆,如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号,虚线上三个元素的乘积取负号.


例2 计算三阶行列式.
解 原式=
.
例3 解不等式 .
解 因为,原不等式化为.
故不等式的解集为.
1. 2阶行列式
1.阶行列式的定义
定义9.2 由个数组成的一个算式
,
称为阶行列式,其中称为的第行第列的元素.
当时,规定.阶行列式简记为.
定义3 在阶行列式中去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式称为元素的余子式,记为.
将叫做元素的代数余子式,记为,即有.
设阶行列式已定义,则阶行列式
. (9.2)
例如,当时,
.
例4 写出四阶行列式

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