我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应. 力在时间上的积累效应: 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 力在空间上的积累效应 功 改变能量 牛顿定律是瞬时的规律. 但在有些问题中, 如:碰撞(宏观)、 (微观) … 散射 第4章 冲量和动量 §1 质点动量定理 §2 质点系动量定理 §3质点系动量守恒定律 §4 质心 质心运动定理 §1 质点动量定理 一、力的冲量 二、 质点运动的动量定理 §1 冲量与动量定理 一、力的冲量 定义: 力 作用时间为 , 则 称为力 在 时间间隔内的冲量, 记作 SI 单位 定义式 若在?t 间隔内物体受力依次为 相应作用时间依次为 则在?t 间隔内力的冲量为 冲量 矢量过程量 若力的变化连续 二、质点运动的动量定理 由牛顿第二定律 质点运动的动量定理 微分形式 积分形式 1)定理的形式特征 (过程量)=(状态量的增量)2)估算平均作用力 讨论 将积分用平均力代替 动量定理写为 平均力写为 动量定理在直角坐标系中,沿各坐标轴的分量式是 质点所受合力的冲量在某一方向上的分量等于质点的动量在该方向的分量的增量. 例题4.1 (117页) 质量m=1kg的质点M从O点开始沿半径R=2m的圆周运动,见右图.以O点为自然坐标原点,已知M的运动学方程为 .试求从 到 这段时间内作用于质点M合力的冲量. O A(t1) B(t2) s 例:动量定理解释了"逆风行舟" (了解) 船 演示 前进方向 风吹来 取一小块风dm为研究对象 初末由牛顿第三定律 前进方向 风对帆的冲量大小 方向与 相反 §2 质点系的动量定理 §3 点系动量守恒定律一、质点系二、质点系的动量定理 动量守恒定律三、火箭飞行原理-- 变质量问题(自学) 一、质点系 N个质点组成的系统-- 研究对象 内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 质点系 特点: 成对出现; 大小相等方向相反 结论:质点系的内力之和为零 质点系中的重要结论之一 质点系:若物体系中的物体均可视作质点,则称为质点系. 外力 external force 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定:系统内任一质点受力之和写成 外力之和 内力之和 质点系 二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力的特点加以化简 到 最简形式. 第1步,对mi 使用动量定理: 外力冲量之和 内力冲量之和 第2步,对所有质点求和: 质点系 由于每个质点的受力时间dt 相同所以: 第3步,化简上式:先看外力冲量之和 将所有的外力共点力相加 写成: 内力的冲量之和为零 再看内力冲量之和 同样,由于每个质点的受力时间dt 相同所以: 因为内力之和为零: 所以有结论: 质点系的重要结论之二 最后简写右边令: 则,质点系的动量定理为 (积分形式) 质点系内各质点动量的矢量和叫作质点系的动量 当 动量守恒定律 动量定理 讨论 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论. 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 微分形式? 可以写成 吗? 注意后面的讲解. 应用 ——例题4.2(见教科书119页) 注意:系统 过程 原理应用 应用——例题4.4、4.5、4.6(127页) 4.若某个方向上合外力为零,则该方向上动量守恒,尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时(如碰撞) 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ,在宏观和微观领域均适用. 可认为动量近似守恒. 7.用守恒定律作题,应注意分析 过程、系统和条件. 3. 动量若在某一惯性系中守恒,则在其它 一切惯性系中均守恒. "神州"号飞船升空 三、火箭飞行原理-- 变质量问题(自学) 粘附 — 主体的质量增加(如滚雪球) 抛射 — 主体的质量减少(如火箭发射) 还有另一类变质量问题是在高速(v ? c)情况下,这时即使没有粘附和抛射,质量也可以改变— 随速度变化 m = m(v),这是相对论情形,不在本节讨论之列. 变质量问题(低速,v << c)有两类: 下面仅以火箭飞行原理为例,讨论变质量问题. 三、火箭飞行原理 (rocket)特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气,所以火箭体的质量不断地变化.飞行速度? 取微小过程,即微小的时间间隔d t 火箭体质量为M 速度 喷出的气体 系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体 ---喷气速度(相对火箭体) 火箭体质量为 速度 喷出的气体 系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体 根据动量守恒列出原理式: 假设在自由空间发射,注意到:dm = - dM,按图示,稍加整理为: 提高火箭速度的途径有二:第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比M0/M 对应的措施是:选优质燃料 采取多级火箭 §4 质心 质心运动定理一、质心的定义 质心坐标的分量式 质点系的质量中心,简称质心. (1)式表示质心的位置矢量, (2)式表示质心坐标,是质点系质量分布的平均坐标,即:以质量为权的平均坐标. (1) (2) o 质点系 对连续体 应用——例题4.7(135页) o 质点系 已知一质量为M、长为L的均质细棒,试证明棒的质心在棒的中点. 解 取棒的一端为坐标原点,沿棒长方向取x轴,在棒上离原点x处取一段dx,则dx段的质量为 解 取棒的一端为坐标原点,沿棒长方向取x轴,在棒上离原点x处取一段dx,则dx段的质量为 根据质心公式,有 若坐标取棒的中点,则计算质心坐标 xc =0 ,但质心相对棒的位置仍然是棒的中点 y x L x dx 说明: 1)不太大物体 质心与重心重合 2)均匀分布的物体 质心在几何中心 3)质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量 4)具有可加性 计算时可分解 二、质心运动定理1.质心速度与质点系的总动量 而2.质心运动定理质点系的动量定理 质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和,叫做质点系的质心运动定理. 讨论 1)质点系动量定理微分形式 积分形式 2)质心处的质点(质点系总质量)代替质点系整体的平动 3)若 不变, 质心速度不变就是动量守恒(同义语)自学了解例题4.8 (137页) ( ) 4) 此式说明,合外力直接主导质点系的平动,而质量中心最有资格代表质点系的平动.为什么?因为只有质心的加速度才满足上式.只要外力确定,不管作用点怎样,质心的加速度就确定,质心的运动轨迹就确定,即质点系的平动就确定. (如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火、爆炸的手榴弹等,其质心的运动都是抛物线). 系统内力不会影响质心的运动 质心 动量定理 角动量定理 力 力矩或角力 动量 角动量 或动量矩 力的冲量 力矩的冲量 或冲量矩 作业 习题 4.3 4.6 4.7 4.10 4.11
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我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应. 力在时间上的积累效应: 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 力在空间上的积累效应 功 改变能量 牛顿定律是瞬时的规律. 但在有些问题中, 如:碰撞(宏观)、 (微观) … 散射 第4章 冲量和动量 §1 质点动量定理 §2 质点系动量定理 §3质点系动量守恒定律 §4 质心 质心运动定理 §1 质点动量定理 一、力的冲量 二、 质点运动的动量定理 §1 冲量与动量定理 一、力的冲量 定义: 力 作用时间为 , 则 称为力 在 时间间隔内的冲量, 记作 SI 单位 定义式 若在?t 间隔内物体受力依次为 相应作用时间依次为 则在?t 间隔内力的冲量为 冲量 矢量过程量 若力的变化连续 二、质点运动的动量定理 由牛顿第二定律 质点运动的动量定理 微分形式 积分形式 1)定理的形式特征 (过程量)=(状态量的增量)2)估算平均作用力 讨论 将积分用平均力代替 动量定理写为 平均力写为 动量定理在直角坐标系中,沿各坐标轴的分量式是 质点所受合力的冲量在某一方向上的分量等于质点的动量在该方向的分量的增量. 例题4.1 (117页) 质量m=1kg的质点M从O点开始沿半径R=2m的圆周运动,见右图.以O点为自然坐标原点,已知M的运动学方程为 .试求从 到 这段时间内作用于质点M合力的冲量. O A(t1) B(t2) s 例:动量定理解释了"逆风行舟" (了解) 船 演示 前进方向 风吹来 取一小块风dm为研究对象 初末由牛顿第三定律 前进方向 风对帆的冲量大小 方向与 相反 §2 质点系的动量定理 §3 点系动量守恒定律一、质点系二、质点系的动量定理 动量守恒定律三、火箭飞行原理-- 变质量问题(自学) 一、质点系 N个质点组成的系统-- 研究对象 内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 质点系 特点: 成对出现; 大小相等方向相反 结论:质点系的内力之和为零 质点系中的重要结论之一 质点系:若物体系中的物体均可视作质点,则称为质点系. 外力 external force 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定:系统内任一质点受力之和写成 外力之和 内力之和 质点系 二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力的特点加以化简 到 最简形式. 第1步,对mi 使用动量定理: 外力冲量之和 内力冲量之和 第2步,对所有质点求和: 质点系 由于每个质点的受力时间dt 相同所以: 第3步,化简上式:先看外力冲量之和 将所有的外力共点力相加 写成: 内力的冲量之和为零 再看内力冲量之和 同样,由于每个质点的受力时间dt 相同所以: 因为内力之和为零: 所以有结论: 质点系的重要结论之二 最后简写右边令: 则,质点系的动量定理为 (积分形式) 质点系内各质点动量的矢量和叫作质点系的动量 当 动量守恒定律 动量定理 讨论 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论. 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 微分形式? 可以写成 吗? 注意后面的讲解. 应用 ——例题4.2(见教科书119页) 注意:系统 过程 原理应用 应用——例题4.4、4.5、4.6(127页) 4.若某个方向上合外力为零,则该方向上动量守恒,尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时(如碰撞) 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ,在宏观和微观领域均适用. 可认为动量近似守恒. 7.用守恒定律作题,应注意分析 过程、系统和条件. 3. 动量若在某一惯性系中守恒,则在其它 一切惯性系中均守恒. "神州"号飞船升空 三、火箭飞行原理-- 变质量问题(自学) 粘附 — 主体的质量增加(如滚雪球) 抛射 — 主体的质量减少(如火箭发射) 还有另一类变质量问题是在高速(v ? c)情况下,这时即使没有粘附和抛射,质量也可以改变— 随速度变化 m = m(v),这是相对论情形,不在本节讨论之列. 变质量问题(低速,v << c)有两类: 下面仅以火箭飞行原理为例,讨论变质量问题. 三、火箭飞行原理 (rocket)特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气,所以火箭体的质量不断地变化.飞行速度? 取微小过程,即微小的时间间隔d t 火箭体质量为M 速度 喷出的气体 系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体 ---喷气速度(相对火箭体) 火箭体质量为 速度 喷出的气体 系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体 根据动量守恒列出原理式: 假设在自由空间发射,注意到:dm = - dM,按图示,稍加整理为: 提高火箭速度的途径有二:第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比M0/M 对应的措施是:选优质燃料 采取多级火箭 §4 质心 质心运动定理一、质心的定义 质心坐标的分量式 质点系的质量中心,简称质心. (1)式表示质心的位置矢量, (2)式表示质心坐标,是质点系质量分布的平均坐标,即:以质量为权的平均坐标. (1) (2) o 质点系 对连续体 应用——例题4.7(135页) o 质点系 已知一质量为M、长为L的均质细棒,试证明棒的质心在棒的中点. 解 取棒的一端为坐标原点,沿棒长方向取x轴,在棒上离原点x处取一段dx,则dx段的质量为 解 取棒的一端为坐标原点,沿棒长方向取x轴,在棒上离原点x处取一段dx,则dx段的质量为 根据质心公式,有 若坐标取棒的中点,则计算质心坐标 xc =0 ,但质心相对棒的位置仍然是棒的中点 y x L x dx 说明: 1)不太大物体 质心与重心重合 2)均匀分布的物体 质心在几何中心 3)质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量 4)具有可加性 计算时可分解 二、质心运动定理1.质心速度与质点系的总动量 而2.质心运动定理质点系的动量定理 质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和,叫做质点系的质心运动定理. 讨论 1)质点系动量定理微分形式 积分形式 2)质心处的质点(质点系总质量)代替质点系整体的平动 3)若 不变, 质心速度不变就是动量守恒(同义语)自学了解例题4.8 (137页) ( ) 4) 此式说明,合外力直接主导质点系的平动,而质量中心最有资格代表质点系的平动.为什么?因为只有质心的加速度才满足上式.只要外力确定,不管作用点怎样,质心的加速度就确定,质心的运动轨迹就确定,即质点系的平动就确定. (如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火、爆炸的手榴弹等,其质心的运动都是抛物线). 系统内力不会影响质心的运动 质心 动量定理 角动量定理 力 力矩或角力 动量 角动量 或动量矩 力的冲量 力矩的冲量 或冲量矩 作业 习题 4.3 4.6 4.7 4.10 4.11