第3章 功和能 §1 功§2 几种常见力的功 §3动能定理 §4 势能 机械能守恒定律 §5 能量守恒定律 §3.1 功· 我们知道:自然界中能量是守恒的,但能量还是可以转移和改变形式的,而改变能量的手段就是做功. 一、力的元功和功率 在以前学过:功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积. 其成立的条件:力是恒力且质点沿直线运动. 对于力是一变力,且质点沿曲线运动的一般情况: 方法:将物体的位移"细分"成许多小段,每段可视为方向不变的小位移,小位移上的力可认为是不变的. 元位移:无穷小的位移,可以认为和轨迹重合. 恒力作用 直线运动 作用物体的位移 1. 元功:力在元位移上的功称为元功——标量. 力的元功等于力 与受力质点无穷小位移 的标积: (1) 表示力与位移的夹角: 注意:(1)功的位移指受力点的位移,若为质点,就是质点的位移 例如:手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动,绳上的受力点不断变化,但受力并未发生位移,故作用于绳上的摩擦力不做功.但绳子对手的摩擦力做功. (2)功和参考系有关.(因为:位移和参考系有关系) 例:一辆汽车以 运动,突然急刹车,最后静止,求摩擦力所作的功. 摩擦力相对于地面的功为: (2) 因此,由于位移 和参考系有关,故摩擦力做负功的说法为错. 与此相联系:机械能守恒定律与参考系也有关,在一个惯性系中守恒,但在另一惯性系中就不守恒. A与B一起作匀加速直线运动, A与B间的最大静摩擦系数为 ,发生位移为s时,则A作用于B的静摩擦力做功为多少? A B x v a 摩擦力作功一定是负的吗? 综:一般运动(变力作用 曲线运动) 元功 讨论 1)功 A是标量,等于质点受到的力和它的位移的标量积. 反映了能量的变化正负:取决于力与位移的夹角 2)功是过程量 3)功的计算中应注意的问题质点问题 对质点:各力作功之和等于 合力作的功 例3.1 质点M在力F作用下沿坐标轴ox运动.力F的大小和方向角?随x 变化规律分别为:F=6x, cos?=0.70-0.02x.其中F的单位为N,x的单位为m.试求质点从x1=10m,处运动到x2=20m处的过程中,力F所作的功. (书82页) x1 M x2 ? 解 因为F的大小和方向都是变化的,则力F在位移元dx上的元功为 平均功率 即:功与时间的比值叫做该段时间的平均功率(平均做功的快慢). 瞬时功率 当时间 时,力的平均功率的极限叫力的瞬时功率. (4) 即:力的功率等于力与受力点速度的标积. §2 几种常见力的功 x y z M1 M2 3.2.1 重力的功 mg Fx = 0, Fy = 0, Fz = -mg ① 重力的功只与始、末位置有关,而与质点所行的路径无关 ② 质点上升时,重力作负功;质点下降时,重力作正功 万有引力的功 O M1 M2 A dr ⑴ 万有引力的功,只与始、末位置有关,而与质点所行经的路径无关 ⑵ 质点A移近质点O时(r2∣?1∣ ),弹性力作负功 例3.3(P87) 3.2.4摩擦力的功 摩擦力的功不仅与始、末位置有关,而与质点所行经的路径有关. 滑动摩擦力的功 滑动摩擦力 静摩擦力的功-------具体问题具体分析 例 如图,水平桌面上有质点 m ,桌面的摩擦系数为μ 求:下面情况摩擦力作的功 1 沿圆弧;解: §3 动能定理 思路:由牛顿第二定律出发.一、牛顿力学中定义质点动能为 一种推导: 元功 将牛顿第二定律代入 推导 质点运动的动能定理 我们应该学会或说习惯于这种一般性的推导. 应用——例题3.4 (见92页) , 二、 质点系的动能定理 思考:为什么内力之和一定为零,而 内力作功之和不一定为零呢? 1) 内力也会改变系统的总动能 2) 质点系的三个运动定理各司其职 动量定理 角动量定理 动能定理 讨论 灵活的头脑 应 灵活地使用 运动定理 三、 一对内力作功之和系统中任意两质点 m1 m2的相互作用力 质点1相对质点2的元位移 质点1受质点2的力 一对内力作功之和与参考系无关 §4 势能 机械能守恒定律 一、保守力的定义如 重力作功 地面 弹性力的功 万有引力的功 共同特征:作功与相对路径无关,只与始末(相对)位置有关 具有这种特征的力(严格说是一对力) 称为保守力 保守力(conservative force)定义有两种表述 表述一(文字叙述)作功与路径无关,只与始末位置有关的力 称为保守力 表述二(数学表示) : 保守力的环流为零.描述矢量场基本性质的方程形式 = 0 通常: 普遍意义:环流为零的力场是保守场,如静电场力的环流也是零,所以静电场也是保守场. 证明第二种表述: 环流不为零的矢量场是非保守场,如磁场. 二、势能1.定义 令 若选末态为势能零点 即 保守力的功 等于相应的势能的增量的负值,也可以说是 等于相应的势能的减小. 2.常见的势能函数 地面为势能零点末态为势能零点 1)重力势能 2)弹性势能 以弹簧原长为势能零点 3)万有引力势能 以无限远为势能零点 1)只有保守力才有相应的势能2)势能属于有保守力作用的体系(质点系)对应一对内力作功之和)3) 势能与参考系无关(相对位移)4)质点系的内力 保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力 讨论 三、机械能守恒定律1、质点系的功能关系2、机械能守恒定律3、应用 1、质点系的功能关系 质点系的动能定理 机械能 功能关系 2、 机械能守恒定律 内力可能有保守力 ,也有非保守力 则即3、应用——例题3.6(103页) 三个宇宙速度1、第一宇宙速度 在地面上发射一航天器,使之能沿绕地球的圆轨道运行所需的最小发射速度,称为第一宇宙速度. 质量为m的航天器在距地球球心为r的圆轨道上以速度 运行时,其圆周运动的向心力就是地球对它的万有引力. 由上式可得 航天器的动能 航天器和地球系统的势能 则其机械能为 由机械能守恒 与发射时最小能量对应的是在地球表面附近(大气层外)的轨道即 ,故由上式直接可得第一宇宙速度为 2、第二宇宙速度 (逃逸速度) 在地面上发射一航天器,使之能脱离地球的引力所需的最小发射速度,称为第二宇宙速度.(11.2千米/秒) 例题3.5(见93页) 人类要登上月球,或要飞向其他行星,首先必须要脱离地球的引力场,因此,所乘坐航天器的发射速度必须大于第二宇宙速度. 3、第三宇宙速度 在地面上发射一航天器,使之不但要脱离地球的引力场,还要脱离太阳的引力场所需的最小发射速度,称为第三宇宙速度.(16.7千米/秒) (有兴趣的同学自行推导) §5 能量守恒定律 能量不能消失,也不能创造,只能从一种形式转换为另一种形式.对于孤立系统来说,不论发生何种变化,各种形式的能量可以互相转化,但它们的总和是一个常量. 介绍逃逸速度与黑洞 逃逸速度:物体脱离引力所需要的最小速率以脱离地球的引力为例 以无限远作为势能零点 若 黑洞 引力作用下塌陷 当m一定时 收缩到 引力半径广义相对论 设想1)把地球变成黑洞 2)把太阳变成黑洞 3)引力理论:转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星 太阳的质量 白矮星 遗憾? 由于引力特大,以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去,所以看不到它发出的光,顾名思义称其为黑洞. 黑洞(black hole): 掉入黑洞的所有信息都丢失了,唯有质量、电荷(或磁荷)、角动量没有被吃掉. 黑洞无毛定理: 第3章结束