高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
§9.10 线性函数与对偶空间
第九章线性映射
设V是数域 P上的线性空间,映射 ,
若满足:
则称 为V上的一个线性函数.
一,线性函数的定义
定义1:
二,线性函数的基本性质
2. 若 , 则
3.设 为一个线性函数, 为
的一组基,
则
即 可由 的基的角确定.
反之,设 是P中任意 个确定的数,
而 为发V的一组基.
则 为线性函数,且
令
是 到 P的一个线性函数.
例2 设 ,则
是 到 的一个线性函数.
例1 设
则
例3设 是数域 上的线性空间, 为 的
一组基, 是 上的一个线性函数,已知
求
解:
所以
例4 是数域 上的3维线性空间, 是 上的
一个线性函数,已知
求
解:
则
定理1: 设V为数域 P上的一个n 维线性空间,
为V的一组基,
为 P中
任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使
证明:映射 ,
即为 上的线性函数,且
若还有 是 上线性函数使
则 有
三,对偶空间与对偶基
1. 对偶空间
设 是数域 上的 维线性空间, 表示
上全体线性函数的集合,在 中定义加法
和数乘运算:
则 构成数域 上的线性空间,称之为V
的对偶空间,记为
定义2:
2. 对偶基
设 为数域 上线性空间 的一组基,
作映射
则 ,且
即,
有,
① 对任意
② 线性无关.
证明:设
两端作用 得
③ 中任意线性函数可由 线性表出.
证明: ,对 ,设
则

线性无关.
综合②与③即得
定理2: 取定线性空间V的一组基
若V上的n个线性函数 满足
则 为 的一组基.
称之为 的对偶基.
例5 上线性空间 ,任意 个不同实数
根据拉格朗日插值公式,有多项式

则
且 为 的一组基.
这是因为:
① 线性无关.
事实上,若有
用 依次代入上式则得:
线性无关.
②
为基.
则线性函数满足
因此 是 的对偶基.
设 是在 点的取值函数:
四,对偶空间的有关结果
1. 设V数域P上的一个n维线性空间,
与 是V的两组基,它们的对偶基分别是
即,
再设
其中,
于是有
所以,
即 或
因此有下述定理
定理3: 设 与 为线性
空间V的两组基,其的对偶基分别为
与
如果
则 到 的过渡矩阵为
即,
2. 线性函数空间的同构
定理4: 设V为线性空间, 是V的对偶空间
的对偶空间,即
定义映射
则 为同构映射. 即
证:
同理
所以 保持加法和数量乘法.
首先: 是1-1对应的,
若
则对 , 即,
又
由 的任意性,
即
故 是单射.