一元二次方程
复习
一元二次方程概念 一般形式
问题1:剪一面积为20cm2的长方形纸片,且长比宽多1cm,则纸片长,宽各为多少
问题2:如图:如果用一正方形纸片,在其四各角上截去四各相同的边长为2cm的小正方形,然后把四边折起来,做成一个无盖长方体盒子.使它的容积为32cm3.能用正方形纸板边长为多少 (阴影部分截去)
上述两问题若用列方程来解,那么列出的方程应是什么样的呢
(问题1:设长方形宽为xcm,
则x(x+1)=20
问题2:设纸板边长为xcm,
则2(x-4)2 =32 )
典型例题
判断下列方程是否一元二次方程,若是,指出二次项系数a,一次项系数b和常数项c;若不是,说明理由.
(1)x-7x2=0
(2) (3)3x(x+2)=11+2(3x-5)
(4) (x-1) 2+7x=x(x+1)
(5)y2 = - 4
解方程
一,解一元二次方程的方法:
1.直接开方法;
因式分解法(提取公因式法,十字相乘法(利用根与系数的关系).
2.配方法:
(1)解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0, b≠0, c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;
(2)记住配方的关键是"添加的常数项等于一次项系数一半的平方";
(3)在数学思想方法方面,体会"转化"的思想和掌握配方法.
典型例题:
x2 -8x-9=0.
解:移项,得 x 2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方,
x 2-8x+4 2=q+4 2,
配方,得 (x-4) 2=25,
解这个方程,得 x-4=±5,
移项,得 x=4±5.
即 x 1=9,x2 =-1. (口头检验,是不是原方程的根)
3.用配方法解一元二次方程的步骤
(1)化二次项系数为1;
(2)移项,使方程左边只有二次项及一次项;
(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(4)变形为(x+m2)=n的形式,如果n≥0,得x+m=± ,x=-m± .所以x1=-m+ ,x2=-m--
典型例题:
(1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0;
(3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0;
(5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0;
(7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0);
公式法:
强调公式的条件:
根与系数关系
1.应用一元二次方程的根与系数关系时,首先要把已知方程化成一般形式.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时,要特别注意,方程有实根的条件,即在初中代数里,当且仅当
b2-4ac≥0时,才能应用根与系关系.
3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.
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根与系数的关系