数学大发现
圆面积求法 怎样求圆面积 这已是一个非常简单的问题,用公式一算,结论就出来 了.可是你可知道这个公式是怎样得来的吗 在过去漫长的年代里,人们为 了研究和解决这个问题,不知遇到了多少困苦,花费了多少精力和时间. 在平面图形中,以长方形的面积最容易计算了.用大小一样的正方形砖 铺垫长方形地面,如果横向用八块,纵向用六块,那一共就用了 8×6=48 块 砖.所以求长方形面积的公式是:长×宽. 求平行四边形的面积,可以用割补的方法,把它变成一个与它面积相等 的长方形.长方形的长和宽,就是平行四边形的底和高.所以求平行四边形 面积的公式是:底×高. 求三角形的面积,可以对接上一个和它全等的三角形,成为一个平行四 边形.这样,三角形的面积,就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半. 因此,求三角形面积的公式是: 1 ×底×高. 2 任何一个多边形,因为可以分割成若干个三角形,所以它的面积,就等 于这些三角形面积的和. 4000 多年前修建的埃及胡夫金字塔,底座是一个正方形,占地 52900m2 . 它的底座边长和角度计算十分准确,误差很小,可见当时测算大面积的技术 水平已经很高. 圆是最重要的曲边形.古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形.怎样 求圆的面积,是数学对人类智慧的一次考验. 也许你会想,既然正方形的面积那么容易求,我们只要想办法做出一个 正方形,使它的面积恰好等于圆面积就行了.是啊,这样的确很好,但是怎 样才能做出这样的正方形呢 你知道古代三大几何难题吗 其中的一个,就是刚才讲到的化圆为方. 这个起源于古希腊的几何作图题,在 2000 多年里,不知难倒了多少能人,直 到 19 世纪,人们才证明了这个几何题,是根本不可能用古代人的尺规作图法 作出来的. 化圆为方这条路行不通,人们不得不开动脑筋,另找出路. 我国古代的数学家祖冲之,从圆内接正六边形入手,让边数成倍增加, 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积. 古希腊的数学家,从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手,不断增 加它们的边数,从里外两个方面去逼近圆面积. 古印度的数学家,采用类似切西瓜的办法,把圆切成许多小瓣,再把这 些小瓣对接成一个长方形,用长方形的面积去代替圆面积. 众多的古代数学家煞费苦心,巧妙构思,为求圆面积作出了十分宝贵的 贡献.为后人解决这个问题开辟了道路. 16 世纪的德国天文学家开普勒,是一个爱观察,肯动脑筋的人.他把丹 麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料,认真地进行整理分析,提出 了著名的"开普勒三定律".开普勒第一次告诉人们,地球围绕太阳运行的 轨道是一个椭圆,太阳位于其中的一个焦点上. 开普勒当过数学老师,他对求面积的问题非常感兴趣,曾进行过深入的
研究.他想,古代数学家用分割的方法去求圆面积,所得到的结果都是近似 值.为了提高近似程度,他们不断地增加分割的次数.但是,不管分割多少 次,几千几万次,只要是有限次,所求出来的总是圆面积的近似值.要想求 出圆面积的精确值,必须分割无穷多次,把圆分成无穷多等分才行. 开普勒也仿照切西瓜的方法,把圆分割成许多小扇形;不同的是,他一 开始就把圆分成无穷多个小扇形. 因为这些扇形太小了,小弧 AB 也太短了,所以开普勒就把小弧 AB 和小弦 AB 看成是相等的,即 AB = AB.
小扇形AOB 的面积 = 小三角形AOB 的面积 = 1 R× AB. 2
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圆面积等于无穷多个小扇形面积的和,所以 1 1 1 圆面积S = R× AB + R× BC + R× CD+∧ 2 2 2 1 = R× ( AB + BC + CD+∧ ∧ ) 2 在最后一个式子中,各段小弧相加就是圆的周长 2πR,所以有 1 S = R×2πR = πR 2 2 这就是我们所熟悉的圆面积公式. 开普勒运用无穷分割法,求出了许多图形的面积.1615 年,他将自己创 造的这种求圆面积的新方法,发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中. 开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形,并果敢地断言:无穷小的扇 形面积,和它对应的无穷小的三角形面积相等.他在前人求圆面积的基础上, 向前迈出了重要的一步. 《葡萄酒桶的立体几何》一书,很快在欧洲流传开了.数学家们高度评 价开普勒的工作,称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源 泉. 一种新的理论,在开始的时候很难十全十美.开普勒创造的求圆面积的 新方法,引起了一些人的怀疑.他们问道:开普勒分割出来的无穷多个小扇 形,它的面积究竟等于不等于零 如果等于零,半径 OA 和半径 OB 就必然重 合,小扇形 OAB 就不存在了;如果客观存在的面积不等于零,小扇形 OAB 与 小三角形 OAB 的面积就不会相等.开普勒把两者看作相等就不对了. 面对别人提出的问题,开普勒自己也解释不清. 卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生,他研究了开普勒求圆面积方 法存在的问题. 卡瓦利里想,开普勒把圆分成无穷多个小扇形,这每个小扇形的面积到 底等不等于圆面积,就不好确定了.但是,只要小扇形还是图形,它是可以 再分的呀.开普勒为什么不再继续分下去了呢 要是真的再细分下去,那分 到什么程度为止呢 这些问题,使卡瓦利里陷入了沉思之中. 有一天,当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时,他忽然灵机一动:唉, 布不是可以看成为面积嘛!布是由棉线织成的,要是把布拆开的话,拆到棉 线就为止了.我们要是把面积像布一样拆开,拆到哪儿为止呢 应该拆到直 线为止.几何学规定直线没有宽度,把面积分到直线就应该不能再分了.于

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