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高等代数学习指导书
第 二 章
多项式
一,内容提要及学习要求
1.基本概念 (1)多项式 设 K 是一个数域,x 是一个文字 ,n 是一个非负整数,
a0 , a1, , an ∈ K , L 形如 an x n + an 1 x n 1 + L + a1 x + a0 的表达式称为数域 K 上的一个关于 文字 x 的一元多项式 (简称多项式) 通常用 f ( x), g ( x), 表示. , L 其中 ai x i 称为 i 次项, ai 称为 i 次项系数;如果 an ≠ 0 ,则称 an x n 为首项, an 称为首项系数,n 称为多项式 的次数,多项式 f ( x) 的次数记为 deg f ( x ) 或者 deg f ;首项系数为 1 的多项式称为 首一多项式;系数全为 0 的多项式称为零多项式,记为 0,零多项式没有次数.数 域 K 上的所有多项式的集合记为 K [ x] . (2)多项式相等 (3)多项式的运算 设 f ( x) = an x n + an 1 x n 1 + L + a1 x + a0, g ( x ) = bn x n + bn 1 x n 1 + L + b1 x + b0 是两个 多项式,规定: 加法 数乘 乘法 f ( x) + g ( x) = (an + bn ) x n + ( an 1 + bn 1 ) x n 1 + L + (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 ) . kf ( x) = kan x n + kan 1 x n 1 + L + ka1 x + ka0 ,其中 k ∈ K . 设 K [ x] 中的两个多项式 f ( x),g ( x) ,如果它们各项的系数相 等,则称 f ( x) 与 g ( x) 相等,记为 f ( x) = g ( x ) .
f ( x) = an x n + an 1 x n 1 + L + a1 x + a0, ( x ) = am x m + am 1 x m 1 + L + a1 x + a0, g 定义 f ( x) g ( x) = cn + m x n + m + cn + m 1 x n + m 1 + L + c1 x + c0 , 其中 ck = ak b0 + ak 1b1 + L + a1bk 1 + a0 bk , k = 0, 2, , n + m . 1, L (4)整除 设 f ( x),g ( x) ∈ K [ x ] ,如果存在 h( x) ∈ K [ x] ,使 g ( x ) = f ( x )h( x ) , 则称 f ( x ) 整除 g ( x) ,记为 f ( x) g ( x) ,此时 f ( x) 称为 g ( x) 的因式. c ∈ K , c ≠ 0 , cf ( x) 都是 f ( x) 的因式,称为 f ( x) 的平凡因式. (5)公因式 设 f ( x),g ( x),d ( x) ∈ K [ x] ,如果 d ( x) f ( x),d ( x ) g ( x) ,那么就 称 d ( x )为f ( x)和g ( x ) 的一个公因式.
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多项式
第 二 章
(6)最大公因式
设 f ( x),g ( x),d ( x) 都是数域 K 上的多项式,如果
① d ( x ) 是 f ( x) 和 g ( x) 的公因式; ② f ( x) , g ( x) 的任意一个公因式都能整除 d ( x ) ; 则称 d ( x ) 为 f ( x) , g ( x) 的一个最大公因式;首项系数为 1 的最大公因式记为 ( f ( x), g ( x )) .类似地可定义多个多项式的最大公因式. (7)互素 若多项式 f ( x) , g ( x) 的最大公因式为非零常数,则称 f ( x) 与 g ( x) 互素. (8) 不可约多项式 设 f ( x) 是数域 K 上的一个次数大于零的多项式, 如果 f ( x) 不能分解成 K [ x] 中的两个次数比它低的多项式的乘积,则称 f ( x) 是数域 K 上的一 个不可约多项式;否则称 f ( x) 在数域 K 上可约.注意:零多项式和零次多项式既不 能说它们可约,也不能说它们不可约. (9)重因式 设 p( x) 是数域 K 上的不可约多项式, f ( x) 是数域 K 上的任意多 项式, 是非负整数, k 如果 p( x) k f ( x), p( x )k +1 不能整除 f ( x) , 且 则称 p( x) 是 f ( x) 的 k 重因式;k 称为重因式的重数;一重因式称为单因式;重数大于 1 的因式叫做重因 式. (10)多项式的根 设 f ( x) 是数域 K 上的一个多项式,c∈K,如果 f (c ) = 0 , 则称 c 为 f ( x) 在 K 中的一个根. (11)本原多项式 一个本原多项式. 如果一个整系数多项式的系数互素,那么称这个多项式为

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