附件 1：
全国优秀教育硕 业学位论文 推荐表
单位名称： 辽宁师范大学 论文题目 作者姓名 冷 婵 攻 硕 期 间 及 获 得 硕 士 学 位 后 一 年 内 获 得 与 硕 士 学 位 论 文 有 关 的 成 果 发表学 术论文 (题目， 刊名,时 间， 社会 影响) 论文所 产生的 实际影 响(对作 者工作 及所在 单位工 作) 填表日期：2011 年 12 月 20 日 高中数学教师对概率统计及其教学认识调查研究 论文答辩日期 2008 年 6 月 学科专业方向 学科教学（数学）
《新课标下高中概率和统计内容的教学与思考》发表于《成才 之路》2007 年第 34 期，对当前的中学概率统计教学提供一定 的参考
通过撰写此论文，使我对概率统计这一教学内容及其教学 意义有更深的认识，因此当我在进行这部分内容的教学时特别 注重教学方法，以及学生的反应，积累我的教学经验。
《新课标下高中概率和统计内容的教学与思考》于 2007 年 12 月在《成才之路》举办的教育论文评选中 贰等奖
获奖项 目(名 称、 等级 及时间）
中文论 文摘要 (论文选 题的意 义,论文 运用的 主要研 究方法, 主要研 究成果, 主要参 考文献)
随着新课程的改革， 概率统计已成为中小学数学课程中的一个重 要内容。由于概率统 究的对象是不确定现象，与传统的教学内 容有着极大的不同，因此传统的教学观念和教学方式就显得有些苍 白.如何搞好概率统计的教学是数学教育界亟需 的问题.数学教 师对概率统计及其教学的认识直接影响到概率统计教学的效果。本 研究就立足于此，选择高中数学教师对概率统计及其教学认识进行 调查研究。 本论文所采取的研究方法：调查法，访谈法，数据编码。 本论文主要研究调查结果： 1．教师对概率统计的态度和认识； 2．教师对概率统计的理 况； 3．概率统计教学中存在的困难。 调查结果显示：教师较熟悉概率的古典定义和统计定义，对概率 的几何定义虽了解不多，但都会 指针指向转盘上某一扇形区域 的概率，只有极少数教师听说过贝特朗悖论，能够较合理解释悖论 的教师寥寥无几，很少教师在解释中提到概率的公理化定义；教师 中存在“等可能性偏见”“预言结果法”和“简单复合法”的错误， 、 缺乏统计观念；教师对条件概率、小概率事件的知识非常欠缺；教 师对概率统计特有的数学思想：随机思想和统计推断思想的认识严 重不足；.教师的知识储备不足；很多教师对新课标的要求不十分明 确；课程资源不足，教师在教学中获得的支持不足，教师培训没有 起到应有的作用；教师不了 生在学习中存在的困难。 随着教育体制的改革，已由应试教育向素质教育转变，由此新 的课程标准出现，其中概率统计方面的内容已经成为中小学数学课 程的内容，特别是高中数学比例逐渐增加，本文针对这部分内容的 教学理念、方法等进行比较详细的分析。指出了存在的问题，同时 提出 的方法。对中学教学有指导意义。全文结构合理，论述清 楚。是一篇优秀的教育硕士专业学位论文。
专家推 荐理由
专家签字：王炜
同意推荐该论文为全国优秀教育硕 业学位论文。 单位推 荐意见 位评定委员会分会主席（签章） 韩友发 ： 单位公章 2011 年 12 月 22 日
说明：学科专业方向包括教育管理、教育技术、小学教育和学科教学，其中学 科教学要说明具体方向，如学科教学（数学） 。本表可复印、附页。
辽宁师范大学 教育硕 究生学位论文
论文题目：高中数学教师对概率统计及其 教学认识调查研究 研 究 生：冷 婵 申请人单位：辽宁师范大学 指导教师：金 美 月 专业方向：学科教学（数学） 年 级：2006 级
辽宁师范大学研究生学院 2008 年 06 月
目
录
中文摘要（关键词） ????????????????????????????????????1 第一章 研究背景和意义 ????????????????????????????????2 1.1 研究背景 ????????????????????????????????????2 1.2 问题的提出 ??????????????????????????????????7 1.3 国内外研究现状 ??????????????????????????????8 1.4 研究目的及意义??????????????????????????????12 第二章 研究方法与数据编码????????????????????????????12 2.1 调查法??????????????????????????????????????12 2.2 访谈法??????????????????????????????????????14 2.3 数据编码????????????????????????????????????14 第三章 研究结果与分析????????????????????????????????15 3.1 教师对概率统 理解情况????????????????????15 3.2 教师对概率统计教学的态度和认识??????????????26 3.3 概率统计教学实际及存在困难??????????????????29 3.4 教师的培训??????????????????????????????????30 第四章 总结与建议????????????????????????????????????31 4.1 总结????????????????????????????????????????32 4.2 建议????????????????????????????????????????32 参考文献??????????????????????????????????????????????35 英文摘要（关键词）????????????????????????????????????37 附录??????????????????????????????????????????????????39 致谢 学位论文独创性说明
高中数学教师对概率统计及其教学认识调查研究
研究生：冷 婵 指导教师：金美月
专业方向：学科教学.数学 中文摘要：随着新课程的改革，概率统计已成为中小学数学课程中的一个重要内容。由于 概率统计研究的对象是不 现象，与传统的教学内容有着极大的不同，因此传统的教学 观念和教学方式就显得有些苍白。如何搞好概率统 教学是数学教育界亟需 的问题。 数学教师对概率统计及其教学的认识直接影响到概率统计教学的效果。本研究就立足于此， 选择高中数学教师对概率统计及其教学认识进行调查研究。 本论文主要包括三个部分， 第一部分是第一章和第二章， 主要阐述国内外的相关研究、 问题的提出和本论文所采取的研究方法。论文的第二部分为第三章，具体介绍了对整个研 究问题的调查结果,即： 4． 教师对概率统 态度和认识； 5． 教师对概率统 理解情况； 6． 概率统计教学中存在的困难。 调查结果显示：教师较熟悉概率的古典定义和统计定义，对概率的几何定义虽了解不 多，但都会计算指针指向转盘上某一扇形区域的概率，能够较合理解释悖论的教师寥寥无 几，很少教师在解释中提到概率的公理化定义；教师中存在“等可能性偏见”“预言结果 、 法”和“简单复合法”的错误，缺乏统计观念；教师对条件概率、小概率事件的知识非常 欠缺；教师对概率统计特有的数学思想：随机思想和统计推断思想的认识严重不足；.教师 的知识储备不足；很多教师对新课程标准标的要求不十分明确；课程资源不足，教师在教 学中获得的支持不足，教师培训没有起到应有的作用；教师不了 生在学习中存在的困 难。 论文最后一部分是总结与建议，再次呈现了本文的主要结论，对教师、学校和教育主 管部门提出了相应的建议。希望这些建议能对新课程在全国的实施提供参考，并对教师的 实际教学有所帮助。 关键词：概率统计 高中数学教师 教学
第一章 研究背景和意义
1.1 研究背景
拉普拉斯有一句名言：“生活中最重要的问题，其中绝大多数只是概率问题。 ” 现 会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息， 做出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定 决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为 人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了 理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。 随着新一轮的课程改革，我国也非常重视概率统计知识。在新的普通高中数学课程标 准中明 示，让学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，
[1]
学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思 想；通过 实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与 性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深 [2] 对随机现 理解，能通过实验、计算器（机）模拟估 单随机事件发生的概率 。 “统计与概率”知识作为随机数学的一部分，在受到各国数学课程设置者重视的同时， 其教学研究也倍受教育界学者和专家的关注。 1.1.1 国外中小学概率统计课程发展及教育研究 早在 20 世纪 60 年代的“新数运动”中， “统计与概率”已经进入了一些发达国家的中 小学数学课程中，美、英、日等发达国家均把“统计与概率”教学作为数学教学的一个重 要组成部分，把统计与概率思想作为一种重要的数学思想来教学，十分注重学生统计观念 和概率思想的培养。 美国：美国教师协会（NCTM）制定的《美国学校数学课程与评估标准》 （1989 年）中 规定：从幼儿园开始每年都有“统计与概率”的相应内容，有计划地渗透随机的思想和方 法，而且随着学生年龄的增长、知识和经验的增加， “统计与概率”的内容含量也呈逐年递 增趋势，相应要求也不断提高。其中，幼儿园～四年级， “统计与概率”的学习内容为：分 析数据和体验概率；要求学生能收集、整理和描述数据；作图、理 数据的特征； 并能用公式表示或 问题；探索随机的概念。五～八年级，则要求学生能够系统地收集、 整理和描述数据；制作、阅读和 表格及图线，根据分析做出推理和论断，并能对论断 做出评价，发展把统计方法作为制定决策的有力手段的能力[3]。1998 年，NCTM 又颁布了 《学校数学的原则和标准》进一步强调了数据、概率与统计之间的相互联系，强化对概率 概念的认识，更重视学生通过亲身体验和主动探索来进行学习[4]。2000 年，NCTM 又出台 了新的《学校数学的原则和标准》把 12 个年级分成四个学段：K～2 年级、3～5 年级、6～ 8 年级、9～12 年级（K 为 kindergarten 的缩写） ，其中，前三个学段为中小学年级段。总体 上说，各年级均有“统计与概率”的教学内容，对随机思想和统计观念进行分层次、有计 划地渗透。K～2 年级，注重让学生通过活动来对物体进行分类，并组织数据，能用实物、 图片和图表来表示数据；通过生活经验来体验可能性。3～5 年级，让学生在收集数据的基 础上，对其进行整理和描述，并能做出合理的推断或做出一些策略；对简单实验结果的概 率进行预测和检验；理解可以用 0 到 1 之间的数来表示事件可能性的大小。5～8 年级，在 前几学段熟练使用统计图和统计量的基础上，通过比较两个以上的特征来帮助学生 一 些更加复杂的问题，进而提高学生解决实际问题的能力[5]。 英国：从小学低年级开始就开设概率统计方面的知识，并把数据处理作为单独的一个 目标列出。比如，对第二学段的学生要求学会简单概率，收集并解释离 据，会制作图 表、图像，并做出解释，进行合理的运用；理解和使用平均的度量，在适当情景中引入众 数、中位数、平均数以及作为扩展度量的极差；认识不 现象和结论；通过实验进一步 理解概率，讨论事件，会使用“事件”、“公平”、“不公平”等等词汇；理解位于 0－1 [6] 之间的事件的概率；认识等可能事件的概率 。 日本：在第六学年，要求学生会研究资料数据的分布，研究和表现统计。中学第二学 年进行资料的收集和整理，并了 些资料的倾向；第三学年会理解概率的意义、样本调 查、并加深统计观点和思考方法．高中在排列组合基础上介绍概率的意义、性质、古典概 [7] 率的 、期望值、二项分布与 分布、统计推断 。 综上可知，尽管英国、日本对“统计和概率”的教学内容安排与美国有所不同，但可 以看出这些发达国家对“统计与概率”的安排有一个共同的规律：对“统计与概率”十分
重视，从小学低年级就开始介绍统计观念和概率思想，注重培养学生用统计意识和统计方 法来 数据、表达和交流信息的能力；让学生通过亲自实验和实际操作，逐步培养自己 的动手能力和探索精神，进一步认识“统计与概率”知识的广泛应用。 西方学者对 “统计与概率” 教学的研究主要是从 20 世纪 70 年代开始的。 其中， Kahneman 和 Tversky (1972)对可能性教学进行了研究，结果表明，人们不管是否接受过概率教学往往 凭借主观估计可能性的大小，依据自己的经验把被考察对象列入特定的一个群体中，如果 与这个群体的情景越相似，发生的可能性就越大[8]。 Piaget 和 Inhelder (1975)对小学生在不同的“运算”阶段对概率的认识进行了研究。研 究表明，对 7 岁左右的儿童处于前运算阶段，不会区分因果关系和随机事件，孩子们认为 没有发生过的比已经发生过的出现的可能性大。对于 8 到 12 岁左右的儿童处于具体运算阶 段，能区分 与不 ，这个阶段的儿童开始知道如何量化概率，但方法是建立在经验 的基础上。从 12 岁开始孩子们进入形式运算阶段，此时已经能够将演绎逻辑和随机概念系 统地统一起来。对于有无放回的试验，他们都能够做出准 概率运算，并能有两个或三 个元素的排列归纳出更多元素的排列[9]。 尽管其他的研究成员对 Piaget 和 Inhelder 的研究方 法及有些结论提出了不同的看法，但是我们不能否认 Piaget 和 Inhelder 所创立的这一框架 已经成为后来描述概率思维框架的基础。 Hawkins 和 Kapadia(1984),Garfield 和 Ahlgren （ 1988 ） Konold （ 1991 ） 以 及 ， Shauhnessy(1993)基于不同的论据，对概率教学进行了研究，提出了如下建议：概率教学应 通过真实数据、活动和直观模拟的使用，创造情景以鼓励学生检查、修 更正他们对概 率的信念和常见的错误认识。教师应该从学生的实际出发去组织教学，以使学生感到概率 有意义、有用，而不是与抽象与现实无关[10]。 David More(1989)针对统计教学指出：教初级统计知识主要不是为了统计学自身的目 的，而是因为它是一个有效的发展定量理解能力的方法，并把算术和作图应用于 问题。 教师在教学中还应理解数据是有“背景”的，故应注重培养学生体会数据产生的过程。在 概率教学上，他认为，在最初学习时最值得强调概率思想的概念和定性的理解，有必要经 过大量的实验来减少学生对概率中的某些误解[11]。 同样， Collis 和 Biggs(1991)等则对小学生学习概率时的四个层次水平进行了研究， 指出： 第一层次是仅与个人主观认识相关；第二层次是由主观认识向“朴素”的数量理解过度； 第三层次是运用非 的数量模式来思考问题；第四个层次是会用数量来表达概率观点。 他还讨论了达到四个不同层 教学方法[12]。1995 年，Garfield 又建议将现代技术如 机、计算器、多媒体和互联网引进概率教学中[13]。Peter Holmes(2002)对英国和美国在统计 与概率教育上的发展进行了总结和归纳，此研究表明， “小学生能够学习而且也乐意学习概 率与统计” ，并得出“在避免单纯的统计量 的情形下，小学生能学得更好”的结论[14]。 上述研究表明，国外对“统计与概率”教学研究的视角在不断地发展和演变，得出了 各种不同的结论，对世界各国“统计与概率”的教学都有许多可供借鉴之处。 1.1.2 我国概率统计课程发展与教育研究 尽管我们国家从来不缺少“赌博”这一“概率实践”,但正如我国在近现 学的发展 中地位不高一样,概率论与没能在我国产生与发展。直到 20 世纪初,概率论才传入中国。 1905 年京师大学堂的数学教科学《普通代数学》中有概率问题的讨论，不过当时的概 率称为“适遇”。 1916 年的《科学》上曾有文介绍“决疑数学”， 概率则被称作“或然率”。 20 世纪 30、 年代在中国产生广泛影响的 40 《范氏大 》 一书中有不少对古典概率的讨论。
到 20 世纪 50 年代，中国的数学教育以学习前苏联为主， 概率论被从中小学数学教学中 “驱 逐出境”。 到 20 世纪 60 年代，概率作为大学内容的下放进入了中小学教材，这个时期,上海的五 年制中学就曾用过《概率率与数理统计》教材。正由于是作为大学数学下放到中小学，终 因其理论要求过高、内容过深，与学生的生活经验与认知水平之间存在过大差距而“水土 不服”,以至没能在中小学站住脚。 直到 1978 年，我国教育部首次规定在初中三年级学习《统计初步》，内容有总体和样 本、频率分布、样本均值、方差和标准差。1980 年又增加了累积频数分布和累积频率分布 作为概率统计的教学内容，概率统计教学逐步受到了重视。但是，由于教材难编、教师难 教、学生难学、试题难出，同时受考试制度的影响，致使概率统计教学形同虚设。1988 年， 教育界再一次掀起了重视概率统计教学的热潮，更加重视随机观念和随机方法的应用，同 时对不同的学段的概率统计教学内容进行了调整，状况有所改观。但是由于我国非常重视 升学考试，概率统计被设为选修内容，教师不教，学生不学，而且教师的培训跟不上要求， [15] 教师自身就缺乏对概率统计教学的理 认识，概率统计教学仍然没有得到很好的重视 。 [16] 2001 年，国家教育部在《义务教育阶段国家数学课程标准》（实验稿） （以下简称 《2001 标准》）中分学段地规定了概率统计教学内容和应达到的要求，概率统计教学开始 得到较好的重视。 为了切实能培养具有统计观念和应用意识的新世纪人才，2003 年国家教育部在高中数 学新课程标准中概率统计教学内容和目标做进一步的调整和完善： 必修部分： 统计 （1）随机抽样 ①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 合具体的实际问题情境，理 机抽样的必要性和重要性。 ③在参与 统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通 过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。 通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 （2）用样本估计总体 ①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、 画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点。 ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会 数据标准差。 ③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（平均 数、标准差） ，并做出合理的解释。 统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率 分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频 率分布和数字特征的随机性。 ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能 通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与 性 思维的差异。 ⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 （3）变量的相关性 ①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用 图直观认识变
量间的相关关系。 历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 概率 （1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了 率 的意义以及频率与概率的区别。 （2）通过实例，了 个互斥事件的概率加法公式。 （3）通过实例，理 典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含 的基本事件数及事件发生的概率。 （4）了 机数的意义，能运用模拟方法（包括 器产生随机数来进行模拟）估计 概率，初步体会几何概型的意义。 （5）通过阅读材料，了 类认识随机现 过程。 说明与建议中指出： 1.教师应引导学生体会统 作用和基本思想，统 特征之一是通过部分的数据来 推测全体数据的性质。学生应体会统计思维与 性思维的差异，注意到统 果的随机 性，统计推断是有可能犯错误的。 2.统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的 方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算 和画图表。对统计中的概念（如“总体”“样本”等）应结合具体问题进行描述性说明， 、 不应追求严格的形式化定义。 3.统计教学必须通过案例来进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历 较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、 方法去解决实际问题。例如，在学习线性相关的内容时，教师可以鼓励学生探索用多种方 法 线性回归直线。在此基础上，教师可以引导学生体会最小二乘法的思想，根据给出 的公式求线性回归方程。对感兴 学生，教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。 4.概率教学的核心问题是让学生了 机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中 的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理 机事件发生的不 性及其频率的稳定性， 并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识。 （如 “中奖率为 1/1000 的彩票，买 1000 张一定中奖。） ” 5.古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一 个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要 把重点放在“如何计数”上。 6.应鼓励学生尽可能运用 器、计算机来处理数据，进行模拟活动，更好地体会统 计思想和概率的意义。例如，可以利用 器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。 选修部分： 统计与概率 （1）概率 ① 在对具体问题的分析中，理 有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认 识分布列对于刻画随机现象的重要性。 ② 通过实例（如彩票抽奖） ，理 几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 ③ 在具体情境中，了 件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 立重复试 验的模型及二项分布，并能 一些简单的实际问题。
④ 通过实例，理 有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能 简单离散 型随机变量的均值、方差，并能 一些实际问题。 ⑤ 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图） ，认识正态分布曲线的特点及 曲线所表示的意义。 （2）统计案例 通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。 ① 通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗” ）的探究，了 立性检验（只要求 2 ×2 列联表）的基本思想、方法及初步应用。 ② 通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效” 、 ）的探究，了 际推断原理 和假设检验的基本思想、方法及初步应用。 ③ 通过对典型案例（如“昆虫分类” ）的探究，了 类分析的基本思想、方法及 其初步应用。 ④ 通过对典型案例（如“学习成绩与学习时间的关系” ）的探究，了 归的基本思 想、方法及其初步应用。 说明与建议中指出： 1.研究一个随机现象，就是要了 所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率， 分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用 广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中， 应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。 2.统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉， 认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估 果的随机性） ，体会统计方法应用的 广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例， 要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了 种统计方法的基本思想及其初 步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行 。 3.教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现 术手段来处理数据，有条件的学校 还可运用一些常见的统计软件 实际问题。加强随机思想和观念的教学，重视概率统计 与数学自身、与其它学科的联系与交叉，促使学生对知识的建构变得更简单、更容易；学 生在现实生活中能否发现问题、提出问题是判断学生是否具有创新意识和创造能力的一种 体现，这在整个标准中都该得到重视；计算器和计算机的广泛应用已经成为必然，特别是 在概率统计中大量数据统计和分析都广泛地使用计算器和计算机，数学教学应该让学生适 [17] 应这一社会发展的要求 。 总之，过去我国的概率统计在中小学一直没有得到足够的重视，起步也相对较晚（统 计一般在小学高年级开始介绍，概率一般在高中开始介绍），现在随着我国的数学教育改 革的深入，概率统计教学已在我国中小学教学中引起了足够的重视。
1.2 问题提出
豪 人在《数学课程发展》中指出“教师是课程与学生之间的中介，任何革新课程 [18] 的尝试，都必须考虑到教师的作用。” 在全书的结尾，豪森等人对以往的改革教训进行 了总结：“我们最近注意到的与教材改革时期有关的教训是，大多数在实践上进行激进改 革的企图，都遇到了麻烦和曲解，原来的意图很少实现，如果今后的革新要进展得令人满 [19] 意些，那么基本的一条是我们应 教师对革新要有更好的理 接受。” 从中可见教 师在教学改革中的重要角色。
Shaughnessy 在概率统 究：反思与展望中谈到：“NTCM 标准能否成功实施，将完 全取决于教师这个因素，中小学教师所具有的随机概念及其对随机的看法是怎样的？对研 究者来说，我们可以做些什么来改变和影响教师对随机概念的态度呢？我们要收集教师在 职前和在职水准的有关信息。在标准实施的过程中，教师需要越来越多的概率统计方面的 在职教学经验。在教师职前，我们需要开发一些针对错误的随机概念和信念的课程，使我 [20] 们未来的教师能了 们将来的学生常会出现的错误概念。” 在我国，概率统计进入高 中数学课程的时间不长，直到近几年，它才成为高考考察的内容。数学教育界对概率统计 的教学研究较为缺乏，而且大多停留在对概率统计的解题研究层面，关于高中数学教师对 概率统计及其教学的认识的研究就更稀少了。 我国新一轮的课程改革已经开始，教师是课程改革的参与者和实践者。课程改革的目 标和意图能否达成与他们的课程理念、学科专业知识以及教学专业知识密切相关。因此， 笔者决定选择高中数学教师作为研究对象，从以下三个方面进行具体研究： （1）教师对概率统计的理 况 （2）教师对概率统计教学的态度和认识 （3）概率统计教学中存在的困难
1.3 国内外研究现状
1.3.1 国外相关研究 国外对概率统计教学的研究相对多一些，但对从事概率统计教学的教师为研究对象还 是很少。 Thompson, P.W.，Liu, Y.，＆ Saldanha， L.A.在《统计推断的复杂性及教师对其的 理解》（Intricacies of Statistical Inference and Teachers ’Understandings of Them） 中，以八个高中教师为研究对象，探究教师对“异常现象”（unusualness）和“假设检验 逻辑”（the logic of hypothesis testing）的理解，得出教师的假设检验逻辑的理论框 架，如图 1-1。 结果显示，绝大多数的教师缺乏概率和假设检验逻辑的观念，大多数教师不理解假设 检验的逻辑。他们没有样本统计分布的概念，只有主观的概率概念；他们信奉以证据为基 础。只有一位教师在重复抽样的方案中将“异常现象”概念化，也只有一位教师提出把假 设检验作为调查研究的方法。这个结果的言外之意是关于概率和统计推断的教学必须以最 [21] 重要的意图来设计，这样有助于一个人统计地理 率和概率地理 计 。 Liu，Y.，＆ Thompson，P.W. 在《教师对概率的理 (Teachers ’Understandings of Probability) 中，选取八个高中教师为研究对象，对教师的概率观念进行调查研究。 首先， 阐述了规范概率思想， 即随机的概率思想 （stochastic conception of probability） ， ①把概率情境想象成随机过程的表达；②理所当然这个随机过程在实质上相似的条件下可 重复进行；③这个随机过程的条件和方法在重复之中将在小的但也许重要的方面有所不同； 期重复过程将产生结果的收集；⑤预期关于结果的频率终究有一个稳定的分布；其次， 提出对概率理 理论框架，如图 1-2。
图 1-1：教师的假设检验逻辑的理论框架
条件
按照 h0 结果是 否异常？
不 1.拒绝 h 1 决定
是 2.断言结果 是片面的
是 3. 因缺乏强 有力的依据 不愿拒绝 h 0
是 4.拒绝 h0
结论
5.相信 h 0
6.相信 h 1
图 1-2：对概率理解的理论框架
1. 存在可重复 试验的 观点 吗？ 2. 试验的条
3. 存在结果
是
件被指定 了 吗？
是
分布的观 点 吗？
不 不 不 不 不 不 不 不 不 是
4. 预 言结 果法
5. 结 果 是 A 或不 是A 概率 为 1 或0
6. 直 观比 例
7 结果 是A或 不是 A 概率 为 50%
8. 作为相 关比例：随 机变量的 所有可能 取值
9. 作 为 相关 比 例：所有 可能 结 果
10.
作
为相 关 频率：所 有结 果 的分布
在这个理论框架下，研究者认为 1→4， 1→5 ，1→6 ，1→7， 1→8， 1→9， 1→2 →6， 1→2→7， 1→2→8， 1→2→3→9 属于非随机思想 （Non-stochastic conceptions） ； 1→2→3→10 属于随机思想（Stochastic conceptions）。 最后，研究者叙述了教师在讨论活动和访谈中的对概率的理解。有三个教师有显著的 [22] 随机观念，有一个教师有非随机观念，其余的教师的概率观念是情境化的 。
综上国外的研究，可见教师对概率统 识的理解存在很多而且复杂的困难，但上述 文献没有对教师的教学观念进行调查。 1.3.2 国内相关研究 我国数学教育界对概率统计教学研究与西方学者比就更晚而且匮乏。 李俊著的《中小学概率的教与学》对中国学生的概率的概念学习进行了研究（其中引 用的都是国外的大量文献），主要研究以下三个问题：（1）我国学生对概率这一概念主要 有哪些错误认识？（2）学生认识概率经历的是一个怎样的发展过程？（3）以学生活动为 主的短期教学计划是否能够增进普通中学 8 年级学生对概率的认识？得出的结论是：（1） 无论是重点学校还是普通学校，无论是学过概率还是没学过概率，“预言结果法”、“机 会不能量化及预测”、“简单复合法”和“等可能性”是我国学生对概率存在的主要错误 概念；（2）学生对概率的认识不能随年龄而自然增长，教学才起重要作用；（3）短期教 学能够有助于普通学校八年级学生克服某些错误概念并增进他们对概率频率定义的认识； （4）题目的背景和数据在引发某些错误概念中起作用。她对我国的概率教学课程开发者和 第一线的教师提出一些建议：给课程开发者的建议，第一，用活动的方法是能够在中学较 低年级有效地开展概率教学的；第二，将概率的所有内容集中安排在一个学期学习的做法 不可取；第三，许多学校还没有电脑不应成为引入概率教学计划的拦路虎，至少对短期教 学来说，这一说法是成立的。给教师的建议，第一，教师应创造情境，鼓励学生用真实的 数据、活动以及直观的模拟试验去检查、修 改正他们对概率的认识；第二，学生的心 中存在错误概念，学生可能事业哪些策略、这些策略如何随学生不断成熟而发生变化等等 信息都是教师教学可以利用的，如果教师对学生的这些情况都胸有成竹，并在教学中采取 相应的对策， ，这样的教学定会更有效；第三，教师应该帮助学生提高他们的认识水 平，将它们逐渐引向更高更复杂的水平；第四，学生需要经历不同的替代物来模拟同一个 概率问题的经验[23]。 王红蔚和齐建华在《概率统计观念形成中的思维障碍分析》中通过对具体概率统计问 题常见错误的分析,发现概率统计观念形成中的思维障碍,提出概率统计教学中应关注的方 [24] 面 。 张德然、茆诗松在《高中概率统计教学中关於随机性数学思维的培养》中的观点是培 养学生随机性数学思维与加强应用实践是保证概率统计教学效果的“核”。培养随机性数 学思维的方法包括：讲清“随机”的内涵，让学生真正体会到学习概率统计必须转变固有 思维方式，激发自觉培养随机性数学思维意识；剖析典型题目，展示推理过程，让学生明 白随机性数学思维下的推理是合情推理和逻辑推理的综合；突出随机性本质，归并典型模 型，提高运用随机性数学思维的能力；注重概率与统计联系，培养学生灵活运用随机性数 学思维的能力；密切联系知识发生过程，师生互动，大面积、高效率地激活学生的随机性 [25] 数学思维；营造应用实践空间，使学生在 实际问题中领悟与发展随机性数学思维 。 王锁平在《高中概率统 教学研究》中形成了以下主要研究结论： 1. 高中概率统计 教学的起点应针对知识起点、心理学起点、教学论起点、哲学文化起点四个方面综合考虑， 它们都是影响教学效果的重要因素，应全面考虑，但应根据每节课的特点，有所侧重； 2. 教学应适应学生的现状和需要； 3.高中概率统计教学有时 特色。具体地说，就是要在 新课程理念下通过概率统计的教学提高学生的素质和发展学生的能力，概率统计教学也是 实施素质教育的一个舞台； 4.“教学有法，教无定法。”针对概率统 识的特点和高中 生心理发展状况，提出了“教师启发、指导，学生有意义发现数学”，并研究了基于现代
教育技术的概率统计的教学模式，指出各种教学模式并无好坏之分，不同之处在于适用范 围的选择，其基本点是：适合的，就是最好的[26]。 陈旭明在《新课程理念下的高中概率教学研究》中从理论分析和实际调查两个方面得 出概率知识难学的结论，并分析出概率难学的几种原因：教材编排的集中性；学生认知发 展的阶段性；随机观念建立的艰巨性；学前观念的干扰；相关知识的影响。 再次，结合概 率学习的现状与新课程的基本理念，提出了以下四条概率教学的基本原则：自主性教学原 则；过程性教学原则；生活化教学原则；突出随机思想教学原则。 紧接着，对概率具体内 容的教学作了重点的研究。对概率概念的教学提出五条教学策略：通过实验来建构概念； 在已有知识经验上学习概念；在概念之间的联系与区别中分清概念；在暴露学生的思维中 修正概念；在实例中丰富概念。对概率公式的教学也得出三条建议：用集合的知识推导概 率公式；公式教学的重点不要放在“如何计算”上；弄清各个公式的前提条件，利用错题 辨识公式的使用背景。对概率问题求解的教学探索出三条措施：使用概率解题表，形成合 理的 程序；在概率题的求解过程中，充分挖掘与渗透数学思想方法；提倡解题方法的 多样化。此外，还对概率的教学方法进行研究，主要是通过案例探讨了概率教学中的探究 性教学。 最后，以培养学生的综合能力和应用意识为目的，以开发教学资源为出发点，对 概率知识与其它知识的整合进行探索。主要是采用案例分析的方法进行研究，着重对数学 学科内与概率有联系的函数、不等式问题，以及数学学科外的体育、物理、生物及生活中 [27] 的概率问题进行详细地分析研究 。 钟志华在《对高中新课程中概率教学的认识》中，用 SOLO 的概率学习“五层次模型” 对高中数学新课程概率部分的内容进行了全面分析．对高中概率进行学科分析时要做到： 转变数学观念以 随机思想，把握学科特点以提高教学针对性，密切关注统计以揭示其 间的内在联系，消除错误认识以培养随机思维．在概率教学中要注意：转变教育观念，改 进教学方式；让学生经历探究过程，体验成功乐趣；开展课题研究，培养创新意识；挖掘 数学史实，渗透数学文化；应用数学软件，促进课程实施[28]。 程伶俐在《中学数学教师对概率概念及其教学的认识》中进行了五个方面的研究：1. 教师对古典定义、几何定义、频率定义和公理化定义的理解；2.教师是否也有简单复合法等 在学生中常见的错误；3.教师使用排列组合 简单概率计算问题的能力；4.教师设计模拟 试验用频率估计概率的能力；5.教师对“概率无用论”采用怎样的教学策略回应。其研究的 结论是：1.教师较熟悉概率的古典定义和频率定义，对概率的几何定义这个名称不太熟悉， 但会 指针指向转盘上某一扇形部分的概率。只有极少数教师听说过贝特朗悖论，能够 较合理理 论的教师寥寥无几，没有一个教师在 中提到概率的公理化定义；2.与初中 教师相比，高中教师更倾向于从理论的角度处理概率问题，而忽视试验；3.教师中“机会不 能量化及预测”和“等可能性偏见”错误不明显，但“预言结果法”和“简单复合法”错 误较严重； 4.从总体来看， 农村教师对概率的认识水平低于市区教师， 城乡师资力量差别大， [29] 其原因为：学历差别、人才向城市流动、培训机会少等 。 张新春（2000）曾进行过一次了 学师生概率知识的调查，接受调查的小学数学教 师 20 名，小学五、六年级的学生 195 名。张新春认为：有相当一部分师生对“降雨可能性 为 80％”的含义不甚明了，不能把“可能性”理 大量重复试验中的一种统计规律性。 这个结果印证我国教师和学生具有“预言结果法”的错误概念。在调查中还发现师生不具 备处理“不确定”现 能力，缺乏随机思想——一次试验结果呈现不确定性，但在大量 重复试验中，结果却具有近乎必然的规律性。在 造成教师对概率知识了 多的原因 时，他认为，首先，小学教师接受正规教育时难以接触到概率论知识；其次，小学教师在
小学数学教学实践中也难以接触到概率论知识；第三，小学教师在业务进修过程中还是难 以接触到概率论知识[30]。 通过综述，我们可以看到，对高中概率统计教学的研究相对比较少，尤其是关于高中 数学教师对概率统计及其教学的认识的研究就更少了。对大连地区来说，2006 年才开始实 施高中的新课程改革。随着课程改革的不断深入，概率统计教学的理论研究与实践教学中 的问题逐渐暴露出来.本研究在此基础上以高中数学教师为研究对象对我市的高中概率统计 教学进行研究。
1.4 研究目的及意义
本文通过对高中数学教师对概率统计知识掌握情况及其教学观念的调查研究，了解教 师的概率统计专业知识水平。但类似的研究在文献中很少发现，现有的研究主要以学生为 研究对象，所以本研究可以增进我们对教师现状的了解，并研究结果对教师、学校、教育 主管部门及教师继续教育培训机构提出一些相应的建议。 本研究正值我国高中数学新课程改革开始实施时期，为了更好地进行概率统计教学， 促进我国当前的高中课程改革，对我国当前高中教师概率统 识水平进行调查和研究是 一件十分紧迫的事。
第二章
研究方法
本章主要介绍研究方法，包括问卷设计，研究对象的选取，实施情况，数据编码等内 容。
2.1 调查法
2.1.1 问卷的设计 笔者根据三个研究问题设计了相关的问卷，下面分别说明相应于研究问题所设计的题 目，如表 2－1。 表 2－1 三个研究问题与题目之间的关系 序 号 问题 对概率四种定义（古典、几何、统计、公理化）的理解 对互斥事件、相互独立事件概念的理解 概率值的 及利用其进行决策 条件概率的计算，等可能性偏见 题目
概率 方面 1 统计 方面
（问卷题 目二） 1—6，11 —15， 17—19 （问卷题 对平均数、中位数、众数、方差、标准差统计量的理解 目二） 考察统计观念 7—10，16 （问卷题 目一） 1—10，12
2
对概率统计教学的态度和认识
3
在概率统计教学中存在的问题
（问卷题 目一） 11，13
第一个研究问题分概率和统计两个方面。概率方面：教师对概率各种定义（古典、几 何、统计、合理化）的理解；教师对互斥事件、独立事件概念的理解；教师对概率值的解 释，并利用其进行决策，条件概率计算，等可能性偏见， 。相应题目是问卷题目二。其中， 古典定义相应的题目是第 12 题，题型为简答题；几何定义相应的题目是第 18 题，参考了 李俊的《中小学概率的教与学》 ，并设计了三个子问题，题型为选择题，题目是针对两步概 率试验的；统计定义相应的题目是第 11 题，是关于天气问题，设计了两个子问题，同时考 察教师是否具有预言结果法；公理化定义相应的题目是第 19 题，先介绍贝特朗（Bertrand） 悖论，然后让教师写出对此悖论的解释，题型为简答题；互斥事件、独立事件相应的题目 是第 15 题，考察教师对这两个概念的理 问卷题目二的第 3 题、第 14 题、第 17 题，考 察教师对概率值的 及利用其进行决策，题型分别为选择题、简答题。统计方面：教师 对（平均数、中位数、众数、方差、标准差）常用统计量的理 考察教师的统计观念。 对于统计量的理解相应题目为问卷题目二第 7、8、10、16 题，对统计观念的考察相应题目 为问卷题目二的第 9 题。 第二个研究问题是教师对概率统计教学的态度和认识，相应题目是问卷题目一的第 1 —10 题，题型是选择题（有的是多选题） ，第 12 题是简答题。 第三个研究问题是教师在概率统计教学中存在的困难，相应的题目是问卷题目一的第 11、13 题，题型是简答题。 这些问卷是笔者在导师与笔者所在教研室有多年经验的老师的指导下进行精心设计 的。 2.1.2 对象的选取 研究对象是大连新世纪高中、大连瓦房店市一所重点高中、三所普通高中，共计五所 学校的数学教师 68 人。其教龄在 4 年以下的有 15 人，教龄在 4－10 年的有 22 人，教龄在 10－20 年的有 19 人，教龄在 20 年以上的有 12 人，学历都是本科。表 2－2 是各类学校教 师的教龄情况： 表 2－2 教师教龄情况 学校 新高 瓦高 三高 六高 八高 合计 A（4 年以下） B（4－10 年） C （10－20 年） D （20 年以上） 4 3 3 3 2 15 2 4 7 3 6 22 5 3 2 6 3 19 5 3 1 0 3 12
2.1.3 实施情况 调查过程中，笔者亲自到每个学校把问卷发给教师，并给予教师充分的时间做题，尽 量避免教师在做问卷时互相参考，并及时收回问卷。但在调查过程中，难免会遇到消极怠
慢的情况，我都耐心说服。也有部分教师不会做或因教学任务繁重不想做，所以每个学校 都有部分教师没有时间参加。参加的教师水平层次多样（约占五所学校数学教师人数的 68%） 。总的来说，调查实施较好。
2.2 访谈法
问卷调查做完后，笔者仔细分析了答卷，从中挑选个别教师进行访谈。访谈对象主要 是回答错误、未做回答和回答独特的教师。访谈的主要目的是核查书面回答内容的真实含 义；了解使用错误概念的教师是如何 他们的真实想法的。访谈时取得教师们的同意之 后，进行了同时录音和现场记录，这为准确地收集和整理数据提供保障。
2.3 数据编码
为了便于统计，笔者对调查的教师进行编码，如 DxAtBi 等。 1、 第一个大写的英文字母表示地区，D 表示大连，W 表示瓦房店； 2、 接下来的小写字母表示学校。 x 表示大连新世纪高级中学，g 表示瓦房店市高级中学，s 表示瓦房店市第三高 级中学，l 表示瓦房店市第六高级中学，b 表示瓦房店市第八高级中学。 3、 再接下来的大写英文字母表示教龄。 A 表示教龄 4 年以下的，B 表示教龄在 4－10 年的，C 表示教龄在 10－20 年的，D 表示教龄在 20 年以上的； 4、 接着的小写英文字母表示是否有概率统计的教学经历。 t 表示有，f 表示没有； 5、 接着的大写英文字母表示教师的性别。 B 表示男教师，G 表示女教师； 6、 最后一位英文字母 i 表示该教师被访谈了，如果没有就说明没有被访谈。 上面的一个编码就表示大连新世纪高级中学教龄为 4 年以下，有概率统计教学经历的 被访谈的男教师。
第三章
研究结果与分析
3.1 教师对概率统 理解情况
本研究对五所高中的 68 数学教师进行了问卷调查。问卷题目二的选择题解答结果如 表 3－1。 表 3－1 揭示了每道选择题各选择选项的人数和所占的百分比，如 6（8.8）表示第 1 题的 A 选项有 6 个人选，占参加答题人数 68 的 8.8%。 从表 3－1 可以看出：问卷题目二的第 1、2、4、18（1）题的正确率分别为 73.5%、 72.1%、75%、77.9%，第 5、7、11（1） 、18（2）题的正确率分别为 66.2%、67.6%、61.8%、 60.3%，没有超过 80%，而第 3、6、8、18（3）题的正确率分别为 47.1%、7.4%、35.3%、 58.8%，不足 60%，偏低。下面开始对这些数据进行具体、详细的分析。 表 3－1 教师答题情况（问卷题目二，选择题） 题号 1 A 6（8.8） B C D 7（10.3） 50（73.5） 4（5.9） 未做 1（1.5） '率 73.5%
2 3 4 5 6 7 8 11（1） （1） 18 （2） （3）
17（25）
2（2.9）
49（72.1）
0（0）
0（0）
72.1% 47.1% 75% 66.2% 7.4% 67.6% 35.3% 61.8% 77.9% 60.3% 58.8%
18（26.5） 5（7.3） 8（11.8） 51（75） 10（14.7） 1（1.5） 3（4.4） 2（2.9）
32（47.1） 5（7.3） 5（7.3） 1（1.5） 0（0） 0（0） 1（1.5） 6（8.8）
45（66.2） 18（26.5）
45（66.2） 5（7.4） 16（23.5） 2（2.9） 1（1.5） 18（26.5） 46（67.6） 2（2.9） 24（35.3） 4（5.9） 4（5.9） 0（0） 0（0） 4（5.9） 0（0） 0（0） 27（39.7） 7（10.3）
42（61.8） 9（13.2） 13（19.1） 53（77.9） 4（5.9） 11（16.2） 12（17.7） 11（16.2）
13（19.1） 41（60.3） 2（2.9） 13（19.1） 40（58.8） 0（0）
3.1.1 教师对概率的理解 1． 教师对概率古典定义、几何定义、统计定义、公里化定义的理 问卷题目（二）的第 12 题考察教师对古典定义的理解。第 12 题：连续掷两次一 枚均匀的骰子，求两次骰子朝上一面的点数和为 3 的概率。教师答题情况如表 3－2。 表 3－２教师对第 12 题的答题情况 答案 人数 1/18 1/36 54（79.4） 1（1.5） 1/6 3（4.4） 1/9 1（1.5） 未答 9（13.2）
由表 3－２可知，有 54 个（占 79.4%）教师答对了,可见教师对概率的古典定义理解相 对较好,只有个别教师算错， 经过访谈了解到其原因是弄不清基本事件的空间， 还有 9 个 （占 13.2%）教师没有回答，经访谈可知其原因是不会做。 第 11 题考察教师统计定义及是否有预言结果法的错误， 11 题： 第 (1)天气预报说： “明 天下雨的概率是 80％” ，与“明天下雨的概率是 80％”的意思最接近的是（ ） A 明天肯定会下雨 B 明天肯定不会下雨 C 假如一年中有 10 天预报“明天下雨的概率是 80％”在 10 天中，有 8 天左右第二天会下 雨 D 假如一年中有 10 天预报“明天下雨的概率是 80％”在 10 天中，恰好有 8 天第二天会下 雨 (2)天气预报说： “明天下雨的概率是 80%” ，结果第二天没下雨，你认为他的预言准不准， 请试着说明理由。 教师的答题情况如表 3－3。 表 3－3 教师对第 11 题的答题情况 11（2） 准 可能准 不准 无法判定 37（54.4） 9（13.2） 3（4.4） 1（1.5） 0（0） 42（61.8） 9（13.2）
11（1） A B C D
4（5.9）
未答 '率
13（19.1） 61.8%
未答 '率
18（26.5） 1.5%
由表 3－３可知，对于第 11（1）题，有 42 人（占 61.8%）答对，答错的有 13 人（占 19.1%） ，未做回答的有 13 人（占 19.1%） ，只有 61.8%的人答对，这表明有相当一部分的教 师对概率的统计定义理 不好。 对于第 11（2）题，有多达 49 人（72.1%）答错，18 人（26.5%）未做回答，只有 1 个 人（1.5%）答对，如教师 DxDtB 回答： “无法判断，一次试验不能说明问题。 ”这表明多数 教师具有“预言结果法”的错误，同时也反映了教师们缺乏统计观念。 考察教师对概率几何定义理 对应的题目是问卷题目二的第 18 题，题目是：用 力旋转两个转盘的指针，下面哪个说法是 '的？（ ） A 两个指针都停在红色的可能性最大 B 两个指针都停在蓝色的可能性最大 C 一个指针停在红色上，另一个指针停在蓝色上的可能性最大 D 无法判断这三个 可能性中哪一个最大 （1） 第一组转盘：
我选（
） ，理由是：
（2） 第二组转盘：
我选（
） ，理由是：
（3） 第三组转盘：
我选（
） ，理由是：
教师回答的情况见表 3－4。 表 3－4 教师对第 18 题的答题情况 A B C D 未答 '率 18（1） 0（0） 0（0） 53（77.9） 4（5.9） 11（16.2） 77.9% 18（2） 0（0） 13（19.1） 41（60.3） 2（2.9） 12（17.7） 60.3% 18（3） 4（5.9） 13（19.1） 40（58.8） 0（0） 11（16.2） 58.8%
由表 3－4 可见，令人稍 的是 60%左右的教师对 3 道小题做出了 '的回答。他们 是从几何定义角度来说明其理由的。即通过面积公式来求概率，进而比较概率的大小。如 教师 WbBtG 对 18（3）的回答是（C） ，理由：
两 指 针都 停在 红色 区域 概率 为
1 5 5 ， 两指 针都 停在 蓝色 区域 的概 率为 ?? ?? 3 12 36
2 7 7 2 5 1 7 17 ，一个停在红色区域，一个停在蓝色区域的概率为 ?? 。教 ?? ?? ?? ?? ?? 3 12 48 3 12 3 12 36
师 WbBtB 的回答是：都停在红色区域的概率为 ??
1 5 5 ，都停在蓝色区域的概率为 ?? 3 12 36
2 7 7 ?? ?? ，停在一红一蓝区域的概率为1 ?? ?? 5 ?? 7 ?? ?? 17 。 ?? ?? ?? 36 18 ?? 36 3 12 18
但是有 20%左右的教师对第（1）（2）（3）题未做回答。通过访谈，笔者了 这是 、 、 因为他们对几何概型较陌生，不知从何下手。因为，几何概型是这次高中课程改革中新增 的内容，显然有一些教师对此陌生或忘记这部分内容有情可原。但是，经过各种层次的培 训，作为教师对此内容应该很熟悉才对。这也暴露出，培训工作不到位。也说明，我们一 线教师们对新增的内容，通过各种方法进行学习的主动性还是不够的。 对于 18 题的第（1）题有 4（5.9%）人选错误的答案 D；第（2）题有 22%的教师选错误 的答案 B、D；第（3）题有 25%的教师选错误的答案 A、B。可见，对于（2）（3）题有 20% 、 以上的教师们出现错误。经过分析教师们所回答的理由，发现他们主要犯的是“简单复合 法”的错误。这种错误在学生们的学习中经常出现。显然，有一定数量的教师们也犯了与 学生同样的错误。 简单复合法是将两步试验简单分割成两个一步试验进行概率大小判断的错误认识。在
李俊的研究中，她把简单复合法分为 3 种类型，即假设 a 和 b 是第一步试验的两个可能的 结果，c 和 d 是第二步试验的两个可能的结果。那么，根据简单复合法： （1）若 a 和 b 发生 的机会相等，c 和 d 发生的机会也相等，则两步试验的结果像 a 和 c、b 和 c、a 和 d 以及 b 和 d 发生的机会都相等。 （2）若 a 和 b 发生的机会相等，但 c 比 d 发生的机会大，则两步 试验的结果 a 和 c 或 b 和 c 比 a 和 d 以及 b 和 d 发生的机会都大，但是 a 和 d 以及 b 和 d 发生的机会都相等。 （3）若 a 比 b 发生的机会大，c 比 d 发生的机会大，则两步试验的结果 [31] a 和 c 发生的机会最大 。下面根据李俊的研究结果对教师们所犯的典型错误进行分析。 在调查问卷中，对于 18（1）题，4（5.9%）名教师选择（D） ，他们犯的错误是“简单 复合法” 。将近 20%的教师们仅分别算出两个转盘指针落入每种颜色的概率就下判断了。 （1） 如：教师 WbDfBi 对 18（2）的 回答是（B） ，第一个转盘指针停在蓝色、红色区域内的机会 一样，各占 50%，第二个转盘指针停在蓝色区域内的机会大，蓝色区域占 7/12，故转盘停 止时，指针都落在蓝色区域内的机会大于落在红色区域内的机会。显然，他犯的错误是“简 单复合法” 。 （2） 回答 18（3）时，此教师对两个转盘指针落入每种颜色区域的概率不计算， 答案为 （B） ， 理由是两转盘指针落入蓝色区域内的机会都比落入红色区域内的机会大。为了详细了 原因，作者进行了访谈。下面摘取了部分访谈记录。 访谈者：你为什么选（B）？你是根据什么来判断的？ 教师：根据图形面积大小。蓝色面积大，红色面积小，直观判断的 。 显然，此教师是靠直观进行判断的，说明他使用了“简单复合法” 。 （3） 考察教师对概率公理化定义理解的题目是第 19 题，题目为： 1899 年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论” 。如图 1，在半径为 R 的圆 C 中任 意引一条弦，试求弦长 L 大于圆的内接 角形边长 3 R 的概率。对这个问题，贝特朗给 出了导致三个不同答案的三种解法： 一：如图 2，由对称性，不妨先固定弦的一端点 A 于圆 C 上，于是弦的另一个端点 B 是 任意的。考虑 角形 ADE，如果点 B 落在 ??DAE 所对应的弧 DBE 上，则有 L> 3 R，故
P??
DBE的弧长 1 ?? 圆周的全长 3
二：如图三，以 R 为半径作圆的同心圆 C1 ，任意弦 AB 的中点 M 也是任意的，如果点 M
2
落在圆 C1 内，则 L> 3 R，故由几何概率公式知，所求的概率 P 等于两圆的面积比，
??R?? ???? ?? 1 2 P ?? ?? 2?? ?? 4 ??R
三：如图 4，不妨先固定弦的方向是它垂直于直径 EF,如果弦的中点落在线段 GH 上，
2
则 L> 3 R。故 P ??
GH EF
??
1 2
(CH=CG=
R ) 2
同一个问题，却有 3 个不同的答案！你如何 这个悖论？
教师的答题情况进行如下的归纳（如表 3-5） ： 表 3-5 教师对第 19 题的 情况 听说过 18（26.5） 没听说过 50（73.5） 未给任 ' 错误 何解释 6（8.8） 12（17.6） 0（0） ' 2(2.9) 错误 3(4.4) 未给任何 45(66.2)
从表 3-5 可以看出听说过贝特朗悖论的教师有 18 人，其中给予 ' 其理由的人数 为 6 人，占整个人数的 8.8%；做出错误解释的人数为 12 人，占 17.6%。没听说过贝特朗悖 论的教师有 50 人，其中给予 ' 其理由的人数为 2 人，占整个人数的 2.9%；做出错误 和未给出 的人数分别为 3 人（占 4.4%）和 45 人(占 66.2%)。 总之，给出正确解释其悖论的人数为 8 人，占 11.8%。显然，不管听没听说这个悖论， 只有少数教师能够 '的解释其理由。说明少数教师掌握了概率公理化定义。那么，错误 或未做回答的教师们的原因是什么呢？为了了 原因，笔者进行了进一步的访谈。 访谈教师中，教师 DxCtBi 对题没有进行直接的回答，而对三种 进行了正误判断， 并给出他自己的判断理由。此教师判断结果是： 1 '，解法 2、3 错误；解法 2 当 M 与 C 点重合时则有无数条弦，而其他位置均有一条弦，可知不是等可能的，故是错误的； 3 中基本事件空间与实际不一致，实际上比该题多。下面是与这个教师进行的访谈纪 录中的一部分： 访谈者： 2 为什么错了？ 教师：M 点在不同的位置，弦的条数不同，不满足等可能性。
访谈者： 3 为什么错了？ 教师：基本事件空间元素数比实际少。 这位教师认为这个悖论主要是由于样本空间每个元素发生可能性不相等而造成。显然， 他使用古典定义进行类比分析，但忽视了古典定义中“样本空间元素是有限个”这个条件， 因此他错误地使用了古典定义。这表明没有掌握概率的公理化定义。 我们知道这个悖论产生的原因是三种 所对应的样本空间不同，所做的等可能假设 [32] 也不同的，因此它们属于三个不同的随机试验，显然对应的三种 都是 '的 。同一 个问题，由于构造不同的样本空间，可以有不同的概率值，这正是概率公理化定义的内涵 所在。 从数据分析可以看出，只有极少数教师了 特朗悖论，掌握概率公理化定义。由对 教师的访谈可知其原因，很多教师在大学里学的概率知识忘得差不多了，工作之后又没有 自主去学习提高自己。因此教师们还有待于提高概率方面的专业知识水平，对教师专业知 识的培训迫在眉睫。教师可以不懂，但不可以不学，学然后知不足，教然后知不济，让“教 [33] 学”与“学教”同行，贯穿于“教”与“学”之中 。 2. 教师对有关概念的理解 （1） 教师对概率、频率和机会的理解 问卷题目二的第 1 题是考察教师对概率、频率和机会三个概念的理 教师的答题情况如表 3－6。 表 3－6 教师对第 1 题的答题情况 答案 人数 A 6（8.8） B C D 未答 1（1.5） '率 73.5%
7（10.3） 50 （73.5） 4（5.9）
由表 3－6 可知，68 名教师中有 50 人（73.5%）答对，有 17 人（25%）答错，1（1.5%） 人未做回答，这表明他们中有约 26.5%的人不知道这三个概念的区别和联系。 机会与概率的意义是一致的，都表示事件发生的可能性大小；频率与概率是一对有密 切联系的概念，概率是一个定值（常数） ，而频率是一个不定值，它有每次试验结果决定， 当重复大数次试验时，频率依概率稳定于一个数值，这个数值即为概率值。即“随机事件 的频率是与我们已进行的试验有关的，而随机事件的概率却完全客观存在的”[34]，所以说 频率不完全等于概率。 （2） 教师对小概率事件、条件概率、互斥事件和相互独立事件的理解 问卷题目二的第 6 题主要考察教师对小概率事件的认识，以虚假广告为背景。 教师的答题情况见表 3－7。 表 3－7 教师对第 6 题的答题情况 答案 人数（百分比） A 45（66.2） B 5（7.4） C 16（23.5） '率 7.4%
从表 3－7 中可以看出选对的教师只有 5 人（7.4%） ，45 个（66.2%）教师认为答案应 该是 A，还有 16 个（23.5%）选 C，在笔者讲 选择答案 B 的理由之后，很多教师认为 答案 B 也有道理，但是答案 A 更合适些。这表明教师对小概率事件理解得不深不透，导致
在运用中缺乏意识。 对于“小概率事件”我们要有双重认识，一是小概率事件在单次试验中很难发生，几 乎不可能发生的；二是小概率事件在不断的重复试验中一定会发生。对于这道题目，张三 连续买到该产品的两个次品的概率为 0.01×0.01=0.0001，属于小概率事件，而小概率事件 在单次试验中几乎是不可能发生的，因此我们有理由相信厂家广告不真实。 第 13 题是考察教师对条件概率的理解。 教师的答题情况如表 3－8。 表 3－8 教师对第 13 题的答题情况 答 案 人 数 3/4 31 45.6） （ 1/4 4(5.9) 2/3 2(2.9) 7/8 3(4.4) 1/2 2(2.9) 未答 26(38.2)
该题的正确答案是： 设事件 A：3 个孩子中，其中有一个男孩；B：3 个孩子中，其中至少有一个女孩。
P?? A?? ??
7 8
， P?? A ?? B ?? ??
P?? A ?? B ?? 6 6 ?? ， P??B | A?? ?? P?? A?? 7 8
由表 3－8 可知，有 31 人（45.6%）答案是 3/4，实际上求的是 P?? A ?? B?? ?? 6/8=3/4；有 3 人（4.4%）答案是 7/8 的，实际上求的是 P??B?? ?? 7/8。有 4 人（5.9%）和 2 人（2.9%）的 答案分别是 1/4 和 2/3， 经访谈可知这 6 个 （8.8%） 教师不会答， 随意写的。 还有 26 人 （38.2%） 未做回答，经访谈可知，他们不会回答，不知道这道题所属的概率类型是哪一种，无从下 手。 总之，教师对条件概率这一知识几乎是空白，很遗憾！ 第 15 题是考察教师对互斥事件和相互独立事件的理 教师的答题情况如表 3－９。 从表 3－９中可看到只有 2 人（2.9%）答对了，如教师 DxDtB 回答：前者不一定，必 须在同一试验下；后者对，由定义可知。回答“能”的教师有 39 人（57.4%） ，他们的理由 是：充要条件。有 2 人（2.9%）回答“不能” ，这说明他们对相互独立事件的定义掌握得不 好。还有 25 人(36.8%)未做回答，经访谈了解到他们觉得似是而非，说不好。可见多数教师 们对这两个概念理 不好。 表 3－9 教师对第 15 题的答题情况 答案 人数 能 39 57.4） （ 不能 2(2.9) 前者不一定，后者能 2(2.9) 未答 25(36.8)
3. 教师对概率值的 以及利用其决策的能力 问卷题目二的第 3 题和第 14 题考察教师对概率值的 。 教师的答题情况如表 3－10。 表 3－10 教师对第 3、14 题的 情况
第3题 A B C D 未答 '率 18（26.5） 5（7.3） 8（11.8） 32（47.1） 5（7.3） 47.1%
第 14 题 不一定（理由 ') 不一定 一定 未答 '率 4（5.9） 9（13.2） 34（50） 21（30.9） 5.9%
第 3 题的 '答案是：D。由表 3－10 可知，有 32 人(47.1％)答对；有 18 人（26.5%） 选 A，他们只是凭经验和直觉；选 B 的有 5(7.3%)人，这个答案不是一点儿道理没有，而不 是最接近的，选这个答案的教师缺少统计观念；选 C 的有 8(11.8%)人，表明他们缺少随机 观念。总之第 3 题答的不好。 第 14 题，有一半的教师认为概率为 0 的事件一定不可能发生，概率为 1 的事件一定发 生；13 人（19.1%）教师认为不一定，其中有 9 个（13.2%）人没有举例，有 3 个（4.4%） 教师的理由是随机事件 A 的概率 P（A）的范围是：0≤P（A）≤1，有 1 个人(1.5%)，举例 说明，如，教师 DxCtBi 回答： “不一定，例如：一根绳子剪成两段，恰好两段等长的概率 为 0，但可以发生（中点处剪开） ；一根绳子剪成两段不等的概率为 1，但若在中点处剪开， 则不发生。 ”这说明很多教师不能对一个概率值进行合理的 。同时也缺乏随机和统 思想。 第 17 题考察教师对概率值理 基础上，利用概率值进行决策的能力。 教师的答题情况如下表 3－11。 由表 3－11 及教师对问卷的回答可知有 21（30.9%）人回答 '，他们的理由是根据下雨的概
率值的大小； 20 有 （29.4%） 人不论下雨的概率多大都带伞， 他们的理由是以防万一， 有备无患； 5 7.4%） 有（ 人受 17（3）中“今天的降水概率是 20％，结果下雨了”这句话的影响，认为天气预报不准；
其余的四种回答笔者不清楚他们的理由，经访谈得知他们是凭着自己的直觉做出决定的； 还有 14（20.6%）教师没有回答。通过访谈了解到他们对下雨的概率值的意义不理 不知 道如何回答。总之，教师多以自己的经验或直觉进行判断，而没有从概率统计的角度考虑 问题。 表 3－11 教师对第 17 题的答题情况
答案 种类 17 1） （ 17 2） （ 17 3） （ 人数 1 不带 带 不带 2 不带 不带 不带 3 带 带 带 4 不带 带 带 5 带 带 不带 6 不带 带 未答 7 带 带 未答 8 未答 未答 未答
21 30.9） 1（1.5） 20 29.4） 5（7.4） 3（4.4） 3（4.4） 1（1.5） 14 20.6） （ （ （
4. 教师对概率值大小的比较 考察教师对概率值的大小的相应题目是问卷题目二的第 2、4、5 题。 教师的答题情况如表 3－12。 表 3－12 教师对第 2、4、5 题的答题情况
题号 2 4 5
A 17（25） 51（75） 3（4.4）
B 2（2.9） 10（14.7） 2（2.9）
C 49（72.1） 1（1.5） 45（66.2）
D 0（0） 5（7.3） 18（26.5）
未 答 0（0） 1（1.5） 0（0）
'率 72.1% 75% 66.2%
由表 3－12 知，第 2 题有 17 人（25%）选 A，2（2.9%）人选 B，表明他们只凭直觉判 断，可见相当数量的教师具有朴素的随机思想，依靠自身的直觉和经验。有 49 人(72.1%) 答对。 第 4 题是一步试验中比较概率的大小，有 51 人（75%）答对。第 5 题考察教师对试验 中样本点的罗列能力和对等可能性偏见等错误概念的使用，另外也考察教师主观概率的意 识。这道题的正确率为 66.2%，比第 4 题有所下降，选 D 的有 18（26.5%）人，可见教师也 存在“等可能性偏见”的错误。 3.1.2 教师对统 理解 1.教师对常用统计量的理解 考察教师对统计量的理 目分别为问卷题目二的第 7、8、10、16 题。 第 7、8 题教师的答题情况如表 3－13。 表 3－13 教师对第 7、8 题的答题情况 题号 7 8 A 1（1.5） 24（35.3） B 18（26.5） 4（5.9） C 46（67.6） 27（39.7） D 2（2.9） 7（10.3） 未 答 1（1.5） 6（8.8） '率 67.6% 39.7%
由表 3－13 可知， 7 题考察教师对平均数、 第 众数、 标准差和直方图的理解， 67.6% 有 的教师答对，有 26.5%的教师选 B，说明他们对众数的概念理 不好；第 8 题考察教师对 平均数、中位数、方差的理解运用能力，结果只有 35.3%的教师答对，多达 39.7%的教师选 C，这表明他们对中位数这个概念理解得不好。 第 10 题为：甲、乙、丙三位同学在三次英语口语比赛中，成绩是： 甲：60、70、80 乙：75、75、75 丙：85、80、70 你认为哪位同学的成绩好？为什么？ 教师的答题情况如表 3－14。 表 3－14 教师对第 10 题的答题情况 丙 没有理由 22（32.4） 一个角度 12（17.6） 好 两个角度 13（19.1） 三个角度 3（4.4） 乙 好 方差 5（7.4） 13（19.1） 未 答
从表 3－14 可以看出，有 50 个(73.5%)教师认为丙的成绩好，除了没有理由的 22 人 （32.4%）外，经访谈可知他们认为丙的平均成绩高。其余的理由包括三种，一种是从一个 角度考虑，只考虑平均数，有 12 人(17.6%)；第二种是从两个角度考虑，如考虑平均数和标 准差或方差，有 13 人（19.1%） ；第三种是从三个角度考虑，如考虑平均数、中位数、标准 差或方差，有 3 人（4.4%） 。这说明很多教师不能从多角度考虑问题。
第 16 题考察教师对统计量方差的应用的理解。 教师的答题情况如表 3－15。 回答 '的有 12 人（17.6%） ，经访谈可知,绝大多数教师不清楚，有的教师说没学过， 有的教师说可能学过，但是忘记了。 表 3－15 教师对 16 题的答题情况 答 ① 为一般式 ② 为特殊式 ① 为总体方差 ② 为抽样方差 中学教材说法不一样 当样本数据较多，数据较集中时， ②式比①式更容易判断样本的波动情况 案 人 数
1（1.5）
1（1.5）
4（5.9）
① 是有偏估计， 它的准 度受 n 的影响， 越大， n 它的偏差越小； 12 17.6） （ ② 是无偏估计，应用上更准 未答 50 73.5） （ 2. 教师的统计观念 问卷题目二的第 9 题，题目是：某药物牙膏广告选取一些消费者现身说法，以证明它 治病的特殊效果，你相信吗？请你对此发表见 本题考察教师是否具有统计观念，能否用统计思想方法去解释生活中的现象。 教师的答题情况如表 3－16。 表 3－16 教师对第 9 题的 情况 教师的结论 相信 不相信 不相信 看具体情况 不相信 未答 理由 广告发布权政府审核，不骗人 不能体现抽取样本的公平性、客观性 人数 1（1.5） 30（44.1）
效果取决于消费者的总数与现身说法的人数， 1（1.5） 疗效好的频率的大小 首先要看样本的大小，样本小很可能导致疗效不 1（1.5） 准，其次要看抽样的方法是否随机 说明：没有解释其理由 15（22.1） 18（26.5）
从表 3－16 可见，绝大多数教师回答“不相信” ，理由各异。从抽样角度考虑的教师虽 然有 31 人（45.6%） ，其中有 30 人（44.1%）是想当然，认为抽样不具有随机性，只有 1 人 （1.5%）从两个角度考虑问题。有 15 人（22.1%）没有解释其理由，经访谈可知，他们认 为很多广告都不真实，这个当然不例外了。有 18 人（26.5%）未做回答，经访谈可知，他 们认为无法判断，可能是真的，也可能是假的。可见教师们非常缺乏统计观念。
3.2 教师对概率统计教学的态度和认识
设计问卷题目一的主要目的是了解高中数学教师对概率统计教学的认识、在教学中遇 到的困难和对此学科的数学思想的认识。 教师对问卷题目一的回答情况如表 3－17。 （说明：表格中的空白处表明没有该选项） 3.2.1 教师对概率统 态度 调查教师对概率统计态度的题目是问卷题目一的第 1、3 题。 教师的答题情况如表 3－18。 由表 3－18 可知，在被调查的 68 名教师中，对概率统计非常感兴 教师有 30 人 （44.1%） ，几乎占了一半，仅有 4 名（5.9%）教师不感兴 这为提高概率统计一章的教 学质量提供了坚实的教师群体基础；教师们普遍认为，概率与统计知识引入高中课程有必 要，约 22 人（32.4%）认为非常必要，38 人（55.9%）认为有一些必要，他们认为，看来 多数教师对这部分知识引入高中课程的必要性认识得不够深刻。这势必影响教师对这部分 教学的重视程度，不利于概率统计教学的发展。 3.2.2 教师的概率统 识的来源 问卷题目一的第 2 题调查了教师的概率统 识的来源。 教师的回答情况如表 3－19。 由表 3－19 可知， 51 个（75%）教师的知识来源于教材和参考书，39 个（57.4%）教 师的知识来自大学的学习，还有 24 人（35.3%）是依靠教学实践进行总结。经过访谈了解 到，教师们大学学习的相关内容忘得差不多了，培训时间短，而且不具体，靠研究教材和 教学参考书不能使他们对概率统计知识掌握得既全面又透彻。可见概率统 课程资源很 匮乏。 表 3－17 教师答题情况（问卷题目一，选择题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 30（44.1） 51（75） 22（32.4） 45（66.2） 27（39.7） 63（92.6） 44（64.7） 4（5.9） 20（29.4） 19（27.9） 52（76.5） B 34（50） 13（19.1） 38（55.9） 59（86.8） 29（42.6） 17（25） 28（41.2） 12（17.6） 21（30.9） 49（72.1） 45（66.2） C 4（5.9） 24（35.3） 6（8.8） 41（60.3） 10（14.7） 6（8.8） 44（64.7） 25（36.8） 18（26.5） 27（39.7） D 39（57.4） 2（2.9） 22（32.4） 2（2.9） 23（33.8） 30（44.1） 12（17.6） 31（45.6） 5（7.4） 20（29.4） 42（61.8） E
表 3－18 教师对第 1、3 题的答题情况 第 1 题：您对概率统计感兴 ？ A 非常 30（44.1） 感兴趣 B 一般 34（50） 第 3 题：您认为概率统计引入高中课程有无必 要？ A 非常必要 22（32.4） B 有一些必要 38（55.9）
C 不感兴趣
4（5.9）
C 可有可无 D 没必要
6（8.8） 2（2.9）
表 3－19 教师对第 2 题的回答情况（可多选） 选项 人数 A 教材及教学参考书 51（75） B 教师培训 13（19.1） C 教学实践总结 24（35.3） D 大学学习 39（57.4）
3.2.3 教师对概率统计教育价值的认识 问卷题目一的第 4、12 题调查了教师对概率统计教育价值的认识。 第 4 题的回答情况如表 3－20。 由表 3－20 可知教师的回答，选 B 的人数最多，59 人（86.8%） ，选 A 的人数是 45 人 （66.2%） 选项是具有决定意义的，有 41 人（60.3%）选，这表明虽然教师对概率统计 ，C 教育价值有一定的认识。 表 3－20 教师对第 4 题的回答情况（可多选） 第 4 题：您认为概率统计引入中学，最大的意义是什么？ A 训练学生逻辑思维能力 B 培养学生用概率统计解决问题的意识和能力 C 培养学生随机性思维 D 培养学生的创新能力 第 12 题：您认为概率与统计蕴涵着哪些数学思想？（简答） 教师的回答情况如表 3－21。 表 3－21 教师对第 12 题的回答情况 数学思想 人 分类讨论 化归与转化 数形结合 概率统计 随 机 逻辑思维 函数与方程 抽象概括 建 整 未 模 体 答 28（41.2） 27（39.7） 3（4.4） 8（11.8） 6（8.8） 3（4.4） 1（1.5） 5（7.4） 5（7.4） 4（5.9） 25（36.8） 人数 45（66.2） 59（86.8） 41（60.3） 22（32.4）
数
由表 3－21 可见，教师对概率统计蕴含的数学思想不十分清楚，他们大致知道一些常 规性的数学思想，如分类讨论、化归与转化、数形结合等等，其中有 8 个人（11.8%）回 答“概率统计思想” ，比较笼统，也许是不明 有 3 个人（4.4%）竟然回答“逻辑思维
思想” ，不恰当。仅个别教师提到了随机性思想，建模思想，大多数教师不知道概率统计 的特有的数学思想为随机性数学思想，统计推断思想等。 3.2.4 教师对概率统计教学的认识 调查教师对概率统计教学的认识的题目是问卷题目一的第 5、7、10 题。 教师的答题情况如表 3－22。 由表 3－22 可知，对第 5 题，有 27 人（39.7%）教师非常了 普通高中数学课程标 准（实验） 》中对于概率统计的要求，29 人（42.6%）教师了 概内容，10 人（14.7%） 教师不太了解，2 人（2.9%）教师不了解。这种情况不容乐观，作为一名教师对课程标准不 很清楚，怎么能很好地执行课程标准的要求，提高教学质量呢？ 从表 3－22 可见， 教师对第 7 题的回答情况： 在概率统 教学中有 44 人次 （64.7%） 关注学生对于具体概率统计思想的理 掌握，有 44 人次（64.7%）关注学生学会用概率 统计来解决问题，有 30 名（44.1%）教师关注通过概率统计培养学生的随机性思维，但是 还有 28 人次（41.2%）关注能做好书上、练习册上的题目，顺利通过考试。可见有相当一 些教师对概率统计教学的目的和意义与课程标准所要求的有很大出入。显然，这个结果与 上面第 5 题的分析结果—半数以上的教师不太了解或根本不了解课程标准是一致的。教师 们不了解标准，自然而然带来教学目的不清楚或错误的现象。 表 3－22 教师对第 5、7（可多选） 、10 题的回答情况 题号 5 7 10 A 27（39.7） 44（64.7） 19（27.9） B 29（42.6） 28（41.2） 49（72.1） C 10（14.7） 44（64.7） D 2（2.9） 30（44.1）
从教师对第 10 题的回答可知，有多达 49 人（72.1%）在概率统计教学中没有用过计 算机辅助教学。经访谈了解到原因有两个：一个是学校没有配备相应的设备；另一个是教 师的 机水平较低，不能熟练应用 机进行辅助教学。
3.3 概率统计教学实际及存在困难
调查概率统计教学实际及存在的困难的题目是问卷题目一的第 6、11、13 题。第 6、11 题的答题情况如表 3－23。 表 3－23 教师对第 6、11 题的回答情况（可多选） 选 项 A B C D 第 6 题：您在教学中遇到困难 第 11 题：您在概率统计教学中遇到的困 时经常采用的方式是什么？ 难是什么？ 与其他教师交流 63（92.6） 缺乏课程资源 52 （76.5） 向专家请教 请领导帮忙 自己 17（25） 6（8.8） 缺乏指导 学生接受不了 45 （66.2） 27 （39.7） 5（7.4）
23（33.8） 您自己对于这个内容不适应
由表 3－23 可知，教师在教学中遇到困难时，有 63 人次（92.6%）选择“与其他教师 交流” ，有 23 人次（33.8%）选择“自己解决” ，只有 17 人次（25%）选择“向专家请教” ，
有 6 人次（8.8%）选择“请领导帮忙” 。除了“向专家请教”外，其他的不论哪一种都不一 定完全解决困难，可见教师们的困难很难得到实质性的 。 从表 3－23 中可知，在概率统计教学中，有 52 人次（76.5%）认为困难是缺乏课程资 源，有 45 人次（66.2%）认为困难是缺乏指导，有 27 人次（39.7%）认为困难是学生接受 不了，5 人次（7.4%）认为困难是自己对这个内容不适应。可见主要困难是缺乏课程资源和 有效的指导。 第 13 题是：您认为学生在学习过程中遇到的困难有哪些？您是怎样帮助学生 困难 的？（简答） 教师的回答情况如表 3－24。 表 3－24 教师对第 13 题的回答情况 学生在学习过程中遇到的困难 解 决 方 法 概率类型分得不清，事件间的关系 把握不准，对实际生活了解不够 构建数学模型的能力较差 缺乏课程资源 实践不足，得不到数据和原理， 记不住书中的原理 教材习题与书本知识想脱离， 学生做题困难 思维有障碍，无从下手 抽象、难懂 未回答 举实际例，让学生动手、 互动 、多练 补充相关知识 多举生活中的例子 反复读题，提取题中信息 以身边的实例讲解
人
数
4（5.9） 18（26.5） 1（1.5） 1（1.5） 1（1.5） 1（1.5） 14（20.6） 30（44.1）
从表 3－24 中可知，有 18 名（26.5%）教师认为学生在学习概率统计过程中遇到的困 难是构建数学模型的能力差，解决的方法是反复读题，提取题中信息。有 14 名（20.6%） 教师认为学生的困难是觉得知识抽象、难懂， 的方法是举实际例子，让学生动手、互 动解决、多练。有 4 名（5.9%）教师认为困难是对概型分不清，事件间的关系把握不准， 方法是多举生活中的例子。 可见教师们在实际教学中解决学生遇到的相应问题所采取的方法都很有道理。但有 2 名（2.9%）教师对学生在学习中所遇到的问题不能给予相应的教学措施，也更吃惊的是有 30 名（44.1%）教师对此问题没有做出回答。作者从访谈中得知，其原因是教师们要么不知 道采用何种教学方法，要么不了 生的困难所在。这对概率统计教学非常不利，有待改 变。
3.4 教师的培训
问卷题目一的第 8、9 题是调查教师的培训情况，结果如表 3－25。 有表 3－25 可知，只有 4 名（5.9%）教师参加过国家级培训，12 名（17.6%）教师参 加省级培训，25 名（36.8%）教师参加地区级培训，12 名（17.6%）教师参加校级培训，20 名（29.4%）教师没有参加过培训，这说明对教师的培训、提高的空间较大。
由于培训不到位，教师的专业知识不厚实，教学中必然不能驾驭教材，不能灵活地运 用科学的方法和手段扫除学生学习这部分知识的障碍，学生觉得知识难，掌握起来困难， 思维有阻力、能力差????就一点也不奇怪了。教师仅有“一杯水” ，怎么可能把这部分知识 讲好。 表 3－25 教师对第 8、9 题（可多选）的回答情况 选 项 A B C D E 第 8 题：您在进行概率统计教学 之前，进行过哪一级培训。 国家级培训 4（5.9） 省级培训 地区（市）级培训 培训 没有参加过培训 12（17.6） 25（36.8） 12（17.6） 20（29.4） 第 9 题：您认为什么样的培训最有 效？ 报告或讲座 20（29.4） 讲授 阅读文献 示范课 有指导的讨论和研讨 21（30.9） 18（26.5） 31（45.6） 42（61.8）
调查中发现，教师对各种培训方式都需要，尤其是示范课和有指导的讨论和研讨，前 者有 31 人（45.6%） ，近一半，后者有 42 人（61.8%） 。笔者访谈了部分教师，教师在访谈 中说： “要培训，就应该和我们的实际教学结合，给我们好的例子学习，或者就让大家讨论、 研究 实际中存在的困难。； “培训应该帮教师明 程目的、使教师明白教、学要到 ” 什么程度才好。。教师们渴望具体有效的培训。 ”
第四章
4.1 总结
总结与建议
本研究以高中数学教师为研究对象，研究了教师对概率统计的理 包括：概率的几种 定义，概率的相关概念，常用统计量，统计观念；调查了教师对概率统计教学的态度和认 识， ；还调查了在概率统计教学实际中存在的困难。 根据调查得到以下几个主要结论： 1.教师较熟悉概率的古典定义和统计定义，对概率的几何定义虽了 多， 但都会计算 指针指向转盘上某一扇形区域的概率，少数教师听说过贝特朗悖论，能够较合理 悖论， 即少数教师能够掌握概率的公理化定义。 2.教师中存在“等可能性偏见”“预言结果法”和“简单复合法”的错误， 、 “简单复合 法”的三种形式都存在，多数教师缺乏统计观念。 3.教师对条件概率、小概率事件的知识非常欠缺。 4.教师的知识储备不足，他（她）们的概率统计知识主要来自于教材和教学参考书，大 学学习，而大学学得不透，加上时间长，所剩无几了。如：教师对概率统计特有的数学思 想：随机思想、统计调查思想、统计描述思想和统计推断思想的认识严重不足[35]。 5.很多教师对新课程标准的要求不十分明 对新课程的理念领悟不深。有相当一部分 教师在实际教学中往往更注重学生学会做题，考试得高分，什么内容不重要，只要会做题 就行。因此，许多理念仍然是只停留在《标准》中，还没有落到实处。 6.教学实际中存在最主要的困难是课程资源不足， 教师缺乏必要的参考资料，其次是相 当一些教师不了解学生在学习中存在的困难，不能有效帮助学生，严重影响教学效果。
7.教师在教学中获得的支持不足，教师培训没有起到应有的作用。教师培训的内容形式 不能满足教师的需要。调查的结果显示，教师在进行教学之前没有得到足够的培训，大部 分教师是在已有基础上通过阅读教材、参考书和在实践中学习，这就难免造成认识上的不 全面，和对课程目标理念理 的不足。教师认识得不够，学生学到的自然满足不了课程 目标的要求。 因此，如果新课程概率统计部分的教学要想取得更大的进步，弥补实践中存在的问题， 以上几个方面的不足，就必须克服。
4.2 建议
1. 对教师的建议 （1）重视概率统计教学。英国学者威尔斯说： “统 思维方法，就象读和写的能力一 [36] 样，将成为效益公民的必备能力。 ”当今社会中，概率统 识应用的广泛性已经不言 而喻了。概率统计教学的最终目的，是使学生能够概率统计思想来认识世界，教师应该在 引导学生 具体问题的过程中培养学生的概率统计思想。 （2）提高概率统 养。课程改革的重任在我们一线教师的身上，而数学教师自身所 接受的概率统计教育也不充分，为了能理 计推理，教师首先需要自己去实践统计，理 法并处理数据．这就需要他们有好的应用数学、计算、概率和统计学功底．但是达到 所有这些要求，还需要很多努力。为了能胜任新世纪的教育教学工作，教师必须不断学习， 提高自己的数学专业知识水平。 （3）对教学的建议 ① 介绍学科史。适时介绍学科史能起到开拓学生的数学知识视野，调节和提高学生情 绪和听课兴趣，吸引学生的注意力，对学生掌 计思想方法,无疑是很有益处的，师在课 堂上介绍学科史知识时，应注意与所教内容揉合到一起，切忌生硬！只要时机掌握适当,尽 管三言两语，也往往收到意想不到的效果。比如，在介绍贝努里大数定律时，可顺便指出 这个大数定律的建立是在 1731 年,它是概率论的第 1 篇论文。介绍数理统 识时，可指出 数理统计学来源于实践，而它的发展又是为了进一步指导人们的实践活动，每一个有用的 统计思想，每一个合理的统计方法无一不是建立者长期从事实践活动的结晶。教师在讲课 中让学生了解这样的背景知识,总结前辈数学家们的研究思想和方法，有利于提高学生的兴 加深学生对所学知识的印象， 使学生对所学知识不会有 “只见树木不见 ” 的感觉[37]。 ② 内容处理上,重视概率统计思想，淡化运算技巧。概率统计教学的最终目的，是使学 生能够概率统计思想来认识世界，教师应该在引导学生解决具体问题的过程中培养学生的 概率统计思想。如：对古典概率 的要求，不要过于追求数学推导的严密，应抓住该课 程的特点，重点放在讲 率思想和统计方法上，以能力培养为本位，加强实践性内容， 逐步培养学生的概率思维和解决实际问题的能力。 ③ 教学中增加实例。布鲁纳认为，通过发现例子之间的关系而学习一个概念或原则， 比起给予学习者这一概念或原则的分析性的描述来更能激发学生，使学生在学习的过程中 得到更大的满足[38]。在概率统计课程的讲授过程中,教师的举例，应尽量贴近生活,结合实际 生活,列举一些典型的例子或者从实际引入概念，而且例子的面要广泛。美国的本杰明.富兰 克林说过“Tell me and I forget ,show me and I remember , involve me and I understand.”[39] 因 此，教师们尽量让学生参与数据收集和数据处理，使学生从过程中学习、体会概率统 思想。这不仅培养学生运用概率统计的思想方法 实际问题的习惯和意识，还可以培养 他们分析问题和解决问题的能力。
④ 创造条件引入计算机辅助教学。借助多媒体技术,对部分随机现象进行模拟， 培养学 生观察问题的能力。要重视数学软件的使用，特别要注意数学思想和计算机的有机结合， 这不但可以帮助学生进一步理 率统计思想和快速实现论证推算，加大教学信息量，而 且拓宽了教学空间和时间。 2. 对学 建议 学校要创设好的学习环境，积极鼓励教师不断进修，给教师的继续教育提供精神上和物 质上的支持。组织各种形式的教研活动，集体备课，上研究课，召开教学诊断等。召开学 生座谈会，了 生学习中的困难。 3. 对课程资源的建议 任何课程政策的推行必须有课程资源的支持。如果没有必要的资源，学校、教师和学 生就会处于要求得不到满足的局面，这种局面会阻碍课程的实施，课程实施就只能是“纸 上谈兵” 。因此，首先上级的主管部门应该加大对教育的投入，保证为实验学校提供足够的 基本资源，以达到课程实施的基本要求。其次，要积极组织专家编写辅助书籍材料，为教 师教学提供指导、帮助。最后，唤醒教师作为课程开发主体的意识，使其能够在更高的水 平上开发、利用课程资源，发挥更大的效益。 4. 对教师培训的建议 教师培训是影响课程实施程度的一个重要因素。教育主管部门应充分利用当地的人力 资源及网络资源，有计划地组织教师进行培训，可利用寒暑长假组织教师到高校进修，提 高教师专业知识水平。真 受培训教师理 部分内容的教学目标是什么，重点是什么， 难点是什么。使教师在教学前能有充分的准备。形式多样灵活，对于政策性、文献性的内 容可以以报告的形式出现，对于实践性强的内容可以通过播放光碟，观摩实际教学的形式 进行，对于优秀教师的经验总结可以采取报告加讨论的形式。总之根据不同内容，采用最 适宜的方式，把各种内容的精华以最好的形式体现出来。除了在讲授新课前培训以外，还 应在完成此部分教学之后，把一线教师组织起来召开研讨会。通过实际教学，教师都有了 许多心得，也存在着许多困惑。通过与同行及专家的交流，可以达到 、提高的效果。 同时，也可以获得对《课标》改进的最真实、最有意义的建议。 5. 对高等师范院 建议 高等师范院校在概率统计教学中应有针对性地结合高中数学课程改革的具体情况加强 教学，以免造成师范生所学与高中教学实践的严重脱节。 以上各条建议，希望能对《课标》的修改和教师的实际教学有一定的参考作用。
Research on the High School Mathematics Teachers’ understanding of Probability and Statistics and It’s Teaching
Author: Leng Chan Advisor: Prof. Jin Meiyue
Abstract：With the development of curriculum reform, probability and statistics had been an important content in the mathematics curriculum of elementary and secondary school. But probability and statistics research an uncertain object. It’s quite different from traditional teaching subject. So the traditional education concept
and teaching method is unconvincing. So how to teach probability and statistics in senior high school is urgent problem. As the probability and statistics instruction were influenced by the teacher’s concepts about probability and statistics and their teaching, the research about probability and statistics instruction proved to be an urgent need. We study senior high school teacher’s concepts of probability and statistics and their teaching in this paper. There were three parts in the thesis. The first part explained the reasons, the review and the methods of the study. The second part introduced the results of this study. The following three research questions were presented in Chapters 3 and 4. Firstly, what were teachers’ comprehensions of probability and statistics? Secondly, what is the attitude and knowledge of teachers about contents of probability and statistics? Thirdly, what is the realistic problem? The result of the investigation indicated that: The senior high school teachers know more of the classic, frequent definition of probability. But they didn’t know geometric definition of probability. Very few the teachers referred to axiomatic definition of probability. The three mistakes, equiprobability bias, outcome approach and simple compound approach existed among the teachers. They didn’t understand conditional probability and small probability event. The teachers lacked stochastic conceptions of probability and conceptions of statistical inference. The teachers’ knowledge storing for future use wasn’t sufficient. A lot of teachers didn’t know very well of the demands of the new curriculum standard. Curriculum resources aren’t sufficient, teachers don’t gain sufficient support in teaching and the training for them doesn’t make sense. The teachers didn’t know of the difficulties of students in their learning. The last part of the thesis summarized the general conclusions of the study again. Further more, some suggestions to teachers, schools and department of educational management were put forward to. We hope these could provide reference to the national implementation of the new curriculum and help teachers in their practice. Key Words: Probability and statistics High school mathematics teacher Teaching
参考文献： [1] 蔺云. 哲学与文化视角下概率统计课的育人功能. 数学教育学报，2002.5 [2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验稿）.北京：人民教育出版社， 2003（03） [3] NCTM. 学校数学课程与评估标准. 美国. 1989 [4] NCTM. 学校数学的原则和标准. 美国. 1998 [5] NCTM. 学校数学的原则和标准. 美国. 2000 [6] 闫炳霞 .国外中小学“统计与概率”的教学研究述评. 中国数学课程网 .2006 [7] 闫炳霞 .国外中小学“统计与概率”的教学研究述评. 中国数学课程网 .2006 [8] 李俊. 中小学概率的教与学. 上海：华东师范大学出版社，2003.5 [9] Piaget J,Inhelder B. 1975 The Origin of the Idea of Chance in Children.(Leake L, Burrell Jr P, Fishbein H D. trans.) New York: Norton.(Original work published 1951) [10] 李俊. 中小学概率的教与学. 上海：华东师范大学出版社，2003.5 [11] 林恩.阿瑟.斯蒂恩. 站在巨人的肩膀上. 上海：上海教育出版社，2000.7 [12] Coollis K F, Biggs J B.1991. Developmental determinants of qualitative aspects of school learning. In: Evans G. ed. Learningang Teaching Cognitive Skills. Melbourne:Australian Council for Educational Research.185～207. [13] Garfield J B. 1995. Reflections on the past 15 years. Teaching statistics .17(2) 72～78 [14] Peter .Holmes. Teaching learning and assessment .complementary or conflicting categouiesfor school statistics. Cape Town, South Africa. International Conference on Teaching of Statistics. (2001) [15] 陈昌平. 数学教育比较与研究. 上海：华东师范大学出版社，2000 [16] 中华人民共和国教育部. 义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）. 北京师范大学 出版社，2001 [17] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验稿）.北京：人民教育出版社， 2003（03） [18]〔英〕豪森Ｇ， 〔美〕凯特尔 〔美〕基尔帕特里克. 数学课程发展. 周克希，赵 斌译. 上海：上海教育出版社，1992 [19] 〔英〕豪森Ｇ， 〔美〕凯特尔 〔美〕基尔帕特里克. 数学课程发展. 周克希，赵 斌译. 上海：上海教育出版社，1992 [20] Shaughnessy , J .M . (1992) :Research in probability and statistics:Research and direction ,In D. A. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning 465～495 New York : Macmillan. , [21] Thompson,P.W.， Liu,Y.， ＆Saldanha， L.A. Intricacies of statistical and teachers understandings of them. 2006 [22] Liu，Y.，＆ Thompson，P.W. Teachers understandings of probability .2006 [23] 李俊. 中小学概率的教与学. 上海：华东师范大学出版社，2003.5 [24] 王红蔚. 齐建华. 概率统计观念形成中的思维障碍分析. 河南教育学院学报（自然科 学版） ，2006
[25] 张德然. 茆诗松. 高中概率统计教学中关于随机性数学思维的培养. 课程 · 教材· 教 法. 2003（09） [26] 王锁平. 高中概率统计的教学研究. 硕 位论文. 2004 [27] 陈旭明. 新课程理念下的高中概率教学研究. 硕 位论文.2005 [28] 钟志华. 对高中新课程中概率教学的认识. 数学教育学报，2006（2） [29] 程伶俐. 中学数学教师对概率概念及其教学的认识. 硕 位论文.2006 [30] 张新春. 小学师生概率知识的调查思考. 湖南教育. 2000 （16） [31] 李俊. 中小学概率的教与学. 上海：华东师范大学出版社，2003.5 [32] 袁震东. 关于贝特朗奇论的辩白. 数学教学. 2006（2） [33] 苏军. 从“教学”到“学教”. 上海教育. 2003（9） [34] 沈恒范. 概率论与数理统计. 北京：高等教育出版社，1995 [35] 梁好翠. 中学概率统计中的数学思想及其教学. 湖北教育学院学报. 2006.8 [36] 陈希孺. 机会的数学. 清华大学出版社，2000.10 [37] 陈萍. 包素华. 关于概率统计教学改革的思考. 衡水学院学报. 2005.9 [38] 陈琦 等. 当代教育心理学. 北京师范大学出版社，1998.4 [39] 唐晓杰. 课程改革与教学革新. 广西人民出版社， 2002
附 录：
教师对概率统计教学的认识问卷
各位老师： 您好！目前， “概率与统计”已经成为小学、初中、高中阶段数学课程的一个重要组成 部分写进了课程标准。我市高中自 2006 年开始进入新一轮课改， “概率与统计”部分的内 容安排变化很大。笔者想从教师这个角度调查研究一下现状，希望能够获得您的配合与帮 助。 请您 以下问题。本问卷旨在调查您对“概率与统计”的认识、相关概念的理解， 以及您在“概率与统计”教学过程中发现的问题，本调查不记名，结果仅供研究使用。因 此请您在填写此表时务必做到以下几点： （1）请真实填写； （2）简答题请有理有据，若有 必要附上例子； （3）请完整填写，不要漏题。最后真诚感谢您对我的支持与帮助，祝您工 作顺利！ 请填写个人信息： 问卷题目一：
所在学校 性别 年龄 教龄 是否有概率统计教学经历 1. 对 率 统计感兴 ？（ ） A 非常感兴趣 B 一般 C 不感兴趣 2. 您对概率与统 认识来自于？（可多选） （ ） A 教材及教学参考书 B 教师培训 C 教学实践总结 D 大学学习
学历
您 概 与
3. 您认为概率与统计引入高中数学课程有无必要？（ ） A 非常必要 B 有一些必要 C 可有可无 D 没必要 4.您认为概率与统计引入中学，最大的意义是什么？ （可多选） （ ） A 训练学生逻辑思维能力 B 培养学生用概率统计解决问题的意识和能力， C 培养学生随机性思维 D 培养学生的创新能力 5. 您 对于 《普 通高 中数 学课程 标准 （实 验） 中对 于概 率统 要求 了解 如何 ？ 》 （ ） A 很清楚 B 了解大概内容 C 不太了解 D 不了解 6. 您在教学中遇到困难时经常采用的方式是什么？（可多选） （ ） A 与其他教师交流 B 向专家请教 C 请领导帮忙 D 自己 7. 您在概率统计教学中最关注学生哪方面的学习？（可多选） （ ） A 学生对于具体概率统计思想的理 掌握 B 能做好书上、练习册上的题目，顺利通过 考试 C 学生学会用概率统计来 问题 D 通过概率统计培养学生的随机性思维 8. 您在进行概率统计教学之前，进行过哪一级别的培训？（ ） A 国家级培训 B 省级培训 C 地区（市）级培训 D 培训 E 没有参加过 培训 9. 您认为什么样的培训最有收获？（可多选） （ ） A 报告或讲座 B 讲授 C 阅读文献 D 示范课 E 有指导的讨论和研讨 F 其他 10. 您在概率统计教学中是否使用计算机辅助教学？（ ） A 是 B 否 11. 您在概率统计教学中遇到的困难是什么？（可多选） （ ） A 缺乏课程资源 B 缺乏指导 C 学生接受不了 D 您自己对于这个内容不适应 如果上面的选项没有您所遇到的情况，请把您的答案写在下面： 12. 您认为概率与统计蕴涵着哪些数学思想？（简答） 13. 您认为学生在学习过程中遇到的困难有哪些？您是怎样帮助学生 困难的？（简答） 问卷题目二： 1．频率、概率和机会的意义是否一致（ ） A 频率和概率的意义一致 B 频率和机会的意义一致 C 概率和机会的意义一致 D 三者的意义一致 2．一枚硬币抛六次，两种可能的结果序列是（i）HTTHTH (ii) HHHHHH (硬币必须按给 出的次序出现 H 或者T： H=头像， T=背面) 下面哪一个结论是 '的？ （ ） A 序列(i)更可能 B 序列(ii)更可能 C 两个序列同样可能 3．一位气象预报员说： “明天下雨的机会是 50％”与“明天下雨的机会是 50％”的意思最 接近的是： A 明天可能会下雨，也可能不会下雨，他自己也不知道结果 B 假如一年中有 10 天预报“明天下雨的机会是 50％” ，在这 10 天中，有 5 天左右第二天 会下雨 C 假如一年中有 100 天预报“明天下雨的机会是 50％” 在这 100 天中，恰好有 50 天第二 ， 天会下雨 D 假如一年中有 100 天预报“明天下雨的机会是 50％” 在这 100 天中，有 50 天左右第二 ，
天会下雨 4．甲袋中放着 8 只红球和 16 只黑球，乙袋中则放着 50 只红球和 70 只黑球，两袋中的球 都已经各自搅匀，取球时你闭上眼睛不许看，如果你想取出 1 只黑球，下面哪个说法是正 确的（ ） A 从甲袋中比乙袋中取出黑球的可能性大 B 从甲袋中比乙袋中取出黑球的可能性小 C 从这两个袋中取出黑球的可能性是一样的 D 无法比较这两种可能性的大小 5.甲袋中放着 2 只白球和 2 只黑球，乙袋中也放着 2 只白球和 2 只黑球，两袋中的球都已 经各自搅匀，取球时你闭上眼睛不许看，把两只手分别伸进甲袋和乙袋，各取出一个球。 下面哪个说法是正确的？（ ） A 取出两个白球的可能性最大 B 取出两个黑球的可能性最大 C 取出一个白球和一个黑球的可能性最大 D 无法判断这三个可能性中哪一个最大 6.某厂广告 称：该厂生产的一批高压锅合格率在 99％（0.99）以上，张三买了该批高 压锅的两个，结果都不合格，对于这件事，你认为： （ ） A 因为该批产品并非全部合格，这件事完全 。 B 张三完全有理由认为厂家广告不真实。 C 厂家广告是否有假与这批产品的数量有关，如果数量很多，则不合格品也多，买到两个 不合格品是正常的 7.下列说法中正确的是（ ） A 一组数据的平均数大于其中的每个数据 B 数据 5、4、4、3、5、2 的众数是 4 C 数据 2、3、4、5 的标准差是数据 4、6、8、10 的标准差的一半 D 频率分布直方图中各长方形面积等于相应各组的频数 8．甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，参加的学生每分钟输入汉字的个数经统计计 算后填入下表 班级 甲 乙 参加人数 55 55 中位数 149 151 方差 191 110 平均字数 135 135
某同学根据上表分析得出如下结论： （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2） 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150 个为优秀） ；甲班成绩波动 情况比乙班成绩波动大。上述结论正确的是（ ） ，说明理由。 A (1) (2) (3) B (1) (2) C (1) (3) D (2) (3) 9．某药物牙膏广告选取一些消费者现身说法，以证明它治病的特殊效果，你相信吗？请你 对此发表见解。 10．甲、乙、丙三位同学在三次英语口语比赛中，成绩是： 甲：60、70、80 乙：75、75、75 丙：85、80、70 你认为哪位同学的成绩好？为什么？ 11． （1）天气预报说： “明天下雨的概率是 80％” ，与“明天下雨的概率是 80％”的意思
最接近的是（ ） A 明天肯定会下雨 B 明天肯定不会下雨 C 假如一年中有 10 天预报“明天下雨的概率是 80％”在 10 天中，有 8 天左右第二天会下 雨 D 假如一年中有 10 天预报“明天下雨的概率是 80％”在 10 天中，恰好有 8 天第二天会下 雨 (2)天气预报说： “明天下雨的概率是 80%” ，结果第二天没下雨，你认为他的预言准不准， 请试着说明理由。 12．连续掷两次一枚均匀的骰子，求两次骰子朝上一面的点数和为 3 的概率。 13．假定生男孩或生女孩是等可能的，在一个有 3 个孩子的家庭中，已知有一个男孩，求 至少有一个女孩的概率。 14．概率为 0 的事件一定不可能发生，概率为 1 的事件一定会发生吗？举例说明。 15．由 P(A+B)=P(A)+P(B)能否得出“A、B 为互斥事件” ，由 P(AB)=P(A)P(B)能否得出“A、 B 为独立事件”？请说明理由。 16．在统计中，方差有两个公式：
①S2 ??
1 ( x1 ?? x ) 2 ?? ( x2 ?? x ) 2 ?? ?? ?? ( xn ?? x ) 2 n
??
?? ??
② S* ??
2
它们在应用上有何区别？ 17． （1）天气预报员说今天的降水概率是 20％，听了他说的话，你决定今天带伞还是不带 伞？请说明理由。 （2）天气预报员说今天的降水概率是 80％，听了他说的话，你决定今天带伞还是不带伞？ 请说明理由。 （3）11 月 1 日，天气预报员说： “今天的降水概率是 20％” ，结果那天下雨了。 11 月 2 日，天气预报员又说： “今天的降水概率是 20％” ，你决定今天带伞还是不带 伞？请说明理由。 18．用力旋转两个转盘的指针，下面哪个说法是 '的？（ ） A 两个指针都停在红色的可能性最大 B 两个指针都停在蓝色的可能性最大 C 一个指针停在红色上，另一个指针停在蓝色上的可能性最大 D 无法判断这三个 可能性中哪一个最大 （1） 第一组转盘：
1 ( x1 ?? x ) 2 ?? ( x2 ?? x ) 2 ?? ?? ?? ( xn ?? x ) 2 n ??1
??
我选（
） ，理由是：
（2） 第二组转盘：
我选（
） ，理由是：
（3） 第三组转盘：
我选（
） ，理由是：
19．1899 年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论” 。如图 1，在半径为 R 的圆 C 中任 意引一条弦，试求弦长 L 大于圆的内接 角形边长 3 R 的概率。 对这个问题，贝特朗给出了导致三个不同答案的三种解法：
一：如图 2，由对称性，不妨先固定弦的一端点 A 于圆 C 上，于是弦的另一个端点
B 是任意的。考虑 角形 ADE，如果落 B ??DAE 在所对的弧 DBE 上，则有
L> 3 R，故
P??
DBE的弧长 1 ?? 圆周的全长 3
二：如图三，以
R 为半径作圆的同心圆 C1 ，任意弦 AB 的中点 M 也是任意的，如 2
果点 M 落在圆 C1 内，则 L> 3 R， 故由几何概率公式知， 所求的概率 P 等于两
??R?? ???? ?? 1 2 圆的面积比， P ?? ?? 2?? ?? 4 ??R
三：如图 4，不妨先固定弦的方向是它垂直于直径 EF,如果弦的中点落在线段 GH
2
上，则 L> 3 R。故 P ??
GH EF
??
1 2
(CH=CG=
R ) 2
同一个问题，却有 3 个不同的答案！你如何 这个悖论？
结束语：再次感谢老师们的大力合作，如果您能对这次问卷的情况（如题目的难易程 度、能否测出您的水平，哪些方面您认为不恰当等，作简短的评价，那将是我获得的宝贵 资料。
致
谢
本文是在金美月老师的指导下完成的。从论文的选题、问卷设计、写作一直到修改定 稿，金老师给予了仔细的指导和帮助。尤其是对论文的结构、具体的细节和调查、访谈的 过程提出了很多宝贵的建议。在此谨向她表示诚挚感谢。 在辽师大的学习期间我得到了辽师大数学学院许多老师的帮助，在此谨向他（她）们 表示衷心感谢。 在调查过程中，我得到了大连新世纪高级中学、瓦房店市高级中学、瓦房店市第三高 级中学、瓦房店市第六高级中学、瓦房店市第八高级中学的领导和数学教师的大力支持， 同时，我也得到我校数学组的肖成山、王春陵、闫佳研老师的大力帮助，在此谨向他（她） 们表示衷心感谢。 最后，我要感谢我的家人对我学习的支持，使我完成了学业。
学位论文独创性
本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明 并表示谢意。
学位论文作者签名：冷婵
日
期：2008.6
学位论文版权的使用授权书
本学位论文作者完全了 宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁 师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后使用本授权书。
学位论文作者签名：王丹
指导教师签名：金美月 日 期 2008.6