来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 1 第一章 绪论 1.1 数据结构讨论的范畴 Niklaus Wirth Algorithm + Data Structures = Programs 程序设计: 为计算机处理问题编制一组指令集 算法:处理问题的策略 数据结构:问题的数学模型 例如: 数值计算的程序设计问题 结构静力分析计算 线性代数方程组 全球天气预报 环流模式方程 非数值计算的程序设计问题 例一: 求一组(n 个)整数中的最大值 算法: 基本操作是"比较两个数的大小" 模型:? 例二:计算机对弈 算法:对弈的规则和策略 模型:? 例三:足协的数据库管理 算法:需要管理的项目?如何管理?用户界面? 模型:? 概括地说, 数据结构描述现实世界实体的数学模型(非数值计算)及其上的操作在计算机中 的表示和实现 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 2 1.2 基本概念 一、数据与数据结构 数据: 所有能被输入到计算机中, 且被计算机处理的符号的集合计算机操作的对 象的总称,是计算机处理的信息的某种特定的符号表示形式 数据元素: 数据中的一个"个体",数据结构中讨论的基本单位 数据项:数据结构中讨论的最小单位 数据元素是数据项的集合 例如: 运动员(数据元素) 姓名 俱乐部名称 出生日期 参加日期 职务 业绩 其中 出生日期 年月日是组合项 数据结构:带结构的数据元素的集合 例如,一个含 12 位数的十进制数可以用三个 4 位的十进制数表示 3214,6587,9345 a1(3214),a2(6587),a3(9345) 在a1、a2 和a3 之间存在"次序"关系 < a1,a2> 、< a2,a3> 3214,6587,9345 ≠ 6587,3214,9345 a1 a2 a3 a2 a1 a3 又例,2 行3列的二维数组 {a1, a2, a3, a4, a5, a6} a1 a2 a3 a4 a5 a6 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 行的次序关系:row = {,,,} 列的次序关系:col = {,,} 再例,一维数组 {a1, a2, a3, a4, a5, a6}中存在 次序关系: {| i=1, 2, 3, 4, 5} 数据的逻辑结构可归结为以下四类: 线性结构 树形结构 图状结构 集合结构 数据结构的形式定义为: 3 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 数据结构是一个二元组 Data_Structures = (D, S) 其中:D 是数据元素的有限集,S 是D上关系的有限集. 严格地讲,以上定义仅是数据的逻辑结构的定义 数据的存储结构 逻辑结构在存储器中的映象 数据元素的映象方法: 用二进制位(bit)的位串表示数据元素 (321)10 = (501)8 = (101000001)2 A = (101)8 = (001000001)2 关系的映象方法:(表示< x, y> 的方法) 顺序映象 以存储位置的相邻表示后继关系 y 的存储位置和 x 的存储位置之间差一个常量 C 而C是一个隐含值,整个存储结构中只含数据元素本身的信息 链式映象 以附加信息(指针)表示后继关系 需要用一个和 x 在一起的附加信息指示 y 的存储位置 在不同的编程环境中,存储结构可有不同的描述方法, 当用高级程序设计语言进行编程时,通常可用高级编程语言中提供的数据类型 描述之. 4 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 5 例如:以三个带有次序关系的整数表示一个长整数时,可利用 C 语言中提供的整 数数组类型,定义长整数为: typedef int Long_int [3] 二、数据类型 在用高级程序语言编写的程序中, 必须对程序中出现的每个变量、 常量或表达式, 明确说明它们所属的数据类型. 因为类型明显或隐含地规定了, 在程序执行期间, 变量或表达式所有可能取值的范围,以及在这些之上允许进行的操作. 数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称. 三、抽象数据类型(Abstract Data Type 简称ADT) 是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作 ADT 有两个重要特征: 数据抽象 用ADT 描述程序处理的实体时, 强调的是其本质的特征、 其所能完成的功能以及 它和外部用户的接口(即外界使用它的方法) 数据封装 将实体的外部特性和其内部实现细节分离,并且对外部用户隐藏其内部实现细 节 例如 抽象数据类型复数的定义: ADT Complex { 数据对象:D={e1,e2|e1,e2∈RealSet } 数据关系:R1={ | e1 是复数的实数部分,| e2 是复数的虚数部分 } 基本操作: InitComplex( &Z, v1, v2 ) 操作结果:构造复数 Z,其实部和虚部分别被赋以参数 v1 和v2 的值. DestroyComplex( &Z) 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 6 操作结果:复数 Z 被销毁. GetReal( Z, &realPart ) 初始条件:复数已存在. 操作结果:用realPart 返回复数 Z 的实部值. GetImag( Z, &ImagPart ) 初始条件:复数已存在. 操作结果:用ImagPart 返回复数 Z 的虚部值. Add( z1,z2, &sum ) 初始条件:z1,z2 是复数. 操作结果:用sum 返回两个复数 z1,z2 的和值. } ADT Complex 假设:z1 和z2 是上述定义的复数, 则Add(z1,z2,z3)操作的结果将得到 z3=z1+z2 抽象数据类型的描述方法 抽象数据类型可用(D,S,P)三元组表示 其中,D 是数据对象,S 是D上的关系集,P 是对 D 的基本操作集. ADT 抽象数据类型名 { 数据对象:〈数据对象的定义〉 数据关系:〈数据关系的定义〉 基本操作:〈基本操作的定义〉 } ADT 抽象数据类型名 其中,数据对象和数据关系的定义用伪码描述,基本操作的定义格式为 基本操作名(参数表) 初始条件:〈初始条件描述〉 操作结果:〈操作结果描述〉 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 7 基本操作有两种参数:赋值参数只为操作提供输入值;引用参数以&打头, 除可 提供输入值外,还将返回操作结果. "初始条件"描述了操作执行之前数据结构和参数应满足的条件,若不满足,则 操作失败,并返回相应出错信息. "操作结果"说明了操作正常完成之后,数据结构的变化状况和应返回的结果. 若初始条件为空,则省略之. 抽象数据类型的表示和实现 抽象数据类型需要通过固有数据类型(高级编程语言中已实现的数据类型)来实 现1.3 算法和算法的衡量 一、算法 算法是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列. 一个算法必须满足以下五个重要特性: 1.有穷性 对于任意一组合法输入值,在执行有穷步骤之后一定能结束,即:算 法中的每个步骤都能在有限时间内完成; 2.确定性 对于每种情况下所应执行的操作,在算法中都有确切的规定,使算法 的执行者或阅读者都能明确其含义及如何执行. 并且在任何条件下, 算法都只有 一条执行路径; 3. 可行性 算法中的所有操作都必须足够基本, 都可以通过已经实现的基本操作 运算有限次实现之; 4.有输入 作为算法加工对象的量值,通常体现为算法中的一组变量.有些输入 量需要在算法执行过程中输入,而有的算法表面上可以没有输入,实际上已被嵌 入算法之中; 5.有输出 它是一组与"输入"与确定关系的量值,是算法进行信息加工后得到 的结果,这种确定关系即为算法的功能. 二、算法设计的原则 设计算法时,通常应考虑达到以下目标: 1.正确性 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 8 首先,算法应当满足以特定的"规格说明"方式给出的需求. 其次,对算法是否"正确"的理解可以有以下四个层次: a.程序中不含语法错误; b.程序对于几组输入数据能够得出满足要求的结果; c.程序对于精心选择的、典型、苛刻切带有刁难性的几组输入数据能够得出满 足要求的结果; d.程序对于一切合法的输入数据都能得出满足要求的结果; 通常以第 c 层意义的正确性作为衡量一个算法是否合格的标准. 2. 可读性 算法主要是为了人的阅读与交流, 其次才是为计算机执行. 因此算法应该易于人 的理解;另一方面,晦涩难读的程序易于隐藏较多错误而难以调试; 3.健壮性 当输入的数据非法时, 算法应当恰当地作出反映或进行相应处理, 而不是产生莫 名奇妙的输出结果.并且,处理出错的方法不应是中断程序的执行,而应是返回 一个表示错误或错误性质的值,以便在更高的抽象层次上进行处理. 4.高效率与低存储量需求 通常,效率指的是算法执行时间;存储量指的是算法执行过程中所需的最大存储 空间.两者都与问题的规模有关. 三、算法效率的衡量方法和准则 通常有两种衡量算法效率的方法: 事后统计法 缺点:1.必须执行程序 2.其它因素掩盖算法本质 事前分析估算法 和算法执行时间相关的因素: 1.算法选用的策略 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 2.问题的规模 3.编写程序的语言 4.编译程序产生的机器代码的质量 5.计算机执行指令的速度 一个特定算法的"运行工作量"的大小,只依赖于问题的规模(通常用整数量 n 表示),或者说,它是问题规模的函数. 假如,随着问题规模 n 的增长,算法执行时间的增长率和 f(n)的增长率相同, 则可记作: T (n) = O(f(n)) 称T(n) 为算法的(渐近)时间复杂度 如何估算算法的时间复杂度? 算法 = 控制结构 + 原操作 (固有数据类型的操作) 算法的执行时间= 原操作(i)的执行次数*原操作(i)的执行时间 算法的执行时间 与 原操作执行次数之和 成正比 从算法中选取一种对于所研究的问题来说是 基本操作 的原操作, 以该基本操作 在算法中重复执行的次数 作为算法运行时间的衡量准则 例一 for (i=1; i<=n; ++i) for (j=1; j<=n; ++j) { c[i,j] = 0; for (k=1; k<=n; ++k) c[i,j] += a[i,k]*b[k,j]; } 9 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 10 基本操作: 乘法操作 时间复杂度: O(n3 ) 例二 void select_sort(int a[], int n) { // 将a中整数序列重新排列成自小至大有序的整数序列. for ( i = 0; i< n-1; ++i ) { j = i; for ( k = i+1; k < n; ++k ) if (a[k] < a[j] ) j = k; if ( j != i ) a[j] ←→ a[i] } // select_sort 基本操作: 比较(数据元素)操作 时间复杂度: O(n2 ) 例三 void bubble_sort(int a[], int n) { // 将a中整数序列重新排列成自小至大 // 有序的整数序列. for (i=n-1, change=TRUE; i>1 && change; --i) { change = FALSE; for (j=0; j a[j+1]) { a[j] ←→ a[j+1]; change = TRUE } } } // bubble_sort 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 11 基本操作: 赋值操作 时间复杂度: O(n2 ) 四、算法的存储空间需求 算法的空间复杂度 S(n) = O(g(n)) 表示随着问题规模 n 的增大,算法运行所需存储量的增长率与 g(n)的增长率相 同. 算法的存储量包括: 1.输入数据所占空间;2.程序本身所占空间;3.辅助变量所占空间. 若输入数据所占空间只取决与问题本身, 和算法无关, 则只需要分析除输入和程 序之外的额外空间. 若所需额外空间相对于输入数据量来说是常数,则称此算法为原地工作. 若所需存储量依赖于特定的输入,则通常按最坏情况考虑. 学习要点1. 熟悉各名词、术语的含义,掌握基本概念,特别是数据的逻辑结构和存储结 构之间的关系.分清哪些是逻辑结构的性质,哪些是存储结构的性质. 2. 了解抽象数据类型的定义、表示和实现方法. 3.理解算法五个要素的确切含义: ①动态有穷性(能执行结束); ②确定性(对于相同的输入执行相同的路径); ③有输入; ④有输出; ⑤可行性(用以描述算法的操作都是足够基本的). 4.掌握计算语句频度和估算算法时间复杂度的方法. 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 习题解答12 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 13 来自 www.freekaoyan.com 转载请说明 严蔚敏 数据结构视频教学笔记 14