- 1 - 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设函数 ( ) f x 在区间[ 1,1] ? 上连续,则0x=是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x = ∫ 的( ) ( ) A 跳跃间断点. ( ) B 可去间断点. ( ) C 无穷间断点. ( ) D 振荡间断点. (2)曲线段方程为 ( ) y f x = ,函数 ( ) f x 在区间 [0, ] a 上有连续的导数,则定积分 0 ( ) a t af x dx ∫ 等于( ) ( ) A 曲边梯形 ABCD 面积. ( ) B 梯形 ABCD 面积. ( ) C 曲边三角形 ACD 面积. ( ) D 三角形 ACD 面积. (3)已知 2 4 ( , ) x y f x y e + = ,则(A) (0,0) x f ′ , (0,0) y f ′ 都存在 (B) (0,0) x f ′ 不存在, (0,0) y f ′ 存在 (C) (0,0) x f ′ 不存在, (0,0) y f ′ 不存在 (D) (0,0) x f ′ , (0,0) y f ′ 都不存在 (4)设函数 f 连续,若2222()(,)uv D f x y f u v dxdy x y + = + ∫∫ ,其中 uv D 为图中阴影部分,则Fu?=?()(A) 2 ( ) vf u (B) 2 ( ) v f u u (C) ( ) vf u (D) ( ) v f u u (5)设A为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 3 0 A = ,则( ) ( ) A E A ? 不可逆, E A + 不可逆. ( ) B E A ? 不可逆, E A + 可逆. ( ) C E A ? 可逆, E A + 可逆. ( ) D E A ? 可逆, E A + 不可逆. (6)设1221A??=????则在实数域上域与 A 合同矩阵为( ) - 2 - ( ) A 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . ( ) B 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . ( ) C 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? . ( ) D 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? . (7)随机变量 , X Y 独立同分布且 X 分布函数为 ( ) F x ,则{}max , Z X Y = 分布函数为 ( ) ( ) A ( ) 2 F x . ( ) B ( ) ( ) F x F y . ( ) C ( ) 2 1 1 F x ? ? ? ? D ( ) ( ) 1 1 F x F y ? ? ? ? ? ? (8)随机变量 ( ) ~ 0,1 X N , ( ) ~ 1,4 Y N 且相关系数 1 XY ρ = ,则( ) ( ) A { } 2 1 1 P Y X B { } 2 1 1 P Y X = ? = . ( ) C { } 2 1 1 P Y X D { } 2 1 1 P Y X = + = . 二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)设函数 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x ? + ≤ ? = ? > ? ? 在(,)?∞ +∞ 内连续,则c=.(10)设341()1xxfxxx++=+,则 2 2 2 f x dx = ∫ . (11)设22{( , ) 1} D x y x y = + ≤ ,则2()Dxydxdy ? = ∫∫ . (12)微分方程 0 xy y ′+ = 满足条件 (1) 1 y = 的解 y = . (13)设3阶矩阵 A 的特征值为 1,2,2,E 为3阶单位矩阵,则14_____ A E ? ? = . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则{}2PXEX = = . 三、解答题:15-23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分) 求极限 2 0 1 sin lim ln x x x x → . (16) (本题满分 10 分) 设(,)zzxy=是由方程 ( ) 2 2 x y z x y z ? 所确定的函数, 其中? 具有 2 阶导数且 1 ?′ ≠ ? 时. - 3 - (1)求dz (2)记()1,zzuxyxyxy????=????????,求 u x ? ? . (17) (本题满分 11 分) 计算 max( ,1) , D xy dxdy ∫∫ 其中 {( , ) 0 2,0 2} D x y x y (18) (本题满分 10 分) 设()fx是周期为 2 的连续函数, (1)证明对任意实数t ,有()()220ttfxdx f x dx + = ∫ ∫ ; (2)证明 2 0 2 x t t G x f t f s ds dt + ? ? = ? ? ? ? ? ∫ ∫ 是周期为 2 的周期函数. (19) (本题满分 10 分) 设银行存款的年利率为 0.05 r = ,并依年复利计算,某基金会希望通过存款 A 万元,实现 第一年提取 19 万元,第二年提取 28 万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律 一直提取下去,问A至少应为多少万元? (20) (本题满分 12 分) 设矩阵 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a * ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ,现矩阵 A 满足方程 AX B = ,其中 ( ) 1, , T n X x x = , ( ) 1,0, ,0 B = , (1)求证 ( ) 1 n A n a = + ; (2) a 为何值,方程组有唯一解; (3) a 为何值,方程组有无穷多解. (21) (本题满分 10 分) 设A为3阶矩阵, 1 2 , a a 为A的分别属于特征值 1,1 ? 特征向量, 向量 3 a 满足 3 2 3 Aa a a = + , 证明(1) 1 2 3 , , a a a 线性无关; (2)令()123,,Paaa=,求 1 P AP ? . (22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 与Y 相互独立, X 的概率分布为 { } ( ) 1 1,0,1 3 P X i i Y 的概率密度 为()1010Yyfy≤≤?=??其它 ,记ZXY=+-4-(1)求102PZX??≤=????;(2)求Z的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 1 2 , , , n X X X 是总体为2(,)Nμσ的简单随机样本.记11niiXXn==∑,2211()1niiSXXn==??∑,221TXSn=?.(1)证T是2μ的无偏估计量. (2)当0, 1 μ σ = = 时 ,求 DT . - 5 - 2008 年考研数学(三)真题解析 一、选择题 (1)【答案】 B 【详解】 0 0 0 0 ( ) lim ( ) lim lim 0 x x x x f t dt g x f x f x → → → = = = ∫ , 所以 0 x = 是函数 ( ) g x 的可去间断点. (2)【答案】C 【详解】 0 0 0 0 0 a a a a a xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx ∫ ∫ ∫ ∫ 其中 ( ) af a 是矩形 ABOC 面积, 0 ( ) a f x dx ∫ 为曲边梯形 ABOD 的面积,所以 0 ( ) a xf x dx ′ ∫ 为 曲边三角形的面积. (3)【答案】 B 【详解】 2 4 0 0 0 0 ( ,0) (0,0) 1 1 (0,0) lim lim lim 0 x x x x x x f x f e e f x x x + → → → ? ? ? ′ = = = ? 0 0 1 1 lim lim 1 x x x x e e x x + + → → ? ? = = , 0 0 1 1 lim lim 1 x x x x e e x x ? ? ? → → ? ? = = ? 故(0,0) x f ′ 不存在. 2 4 2 0 2 0 0 0 0 (0, ) (0,0) 1 1 (0,0) lim lim lim lim 0 0 y y y y y y y f y f e e y f y y y y + → → → → ? ? ? ? 所以 (0,0) y f ′ 存在.故选 B . (4)【答案】 A 【详解】用极坐标得 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 1 1 , ( ) v u u f r r D f u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v + = = = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ 所以 ( ) 2 F vf u u ? = ? . (5)【答案】C 【详解】 2 3 ( )( ) E A E A A E A E 2 3 ( )( ) E A E A A E A E 故,EAEA?+均可逆. (6)【答案】 D 【 详解】记1221D???=?????,则()2121421EDλλλλ? ? 又-6-()2121421EAλλλλ?? ? ? , 所以 A 和D有相同的特征多项式,所以 A 和D有相同的特征值. 又A和D为同阶实对称矩阵,所以 A 和D相似.由于实对称矩阵相似必合同,故D正确. (7)【答案】 A 【详解】 2 max , Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z (8)【答案】 D 【详解】 用排除法. 设Y aX b = + , 由1XY ρ = , 知道 , X Y 正相关, 得0a>,排除( ) A 、( ) C 由~(0,1), ~ (1,4) X N Y N ,得0, 1, EX EY = = 所以 ( ) ( ) E Y E aX b aEX b = + = + 0 1, a b = * + = 所以 1 b = . 排除( ) B . 故选择( ) D . 二、填空题 (9)【答案】1 【详解】由题设知 | | 0 c x ≥ ≥ ,所以 2 2 , ( ) 1, 2 , x x c f x x c x c x x c > ? ? ? ?? < ? ? 因为 ( ) 2 2 lim lim( 1) 1 x c x c f x x c ? ? → → 2 2 lim lim x c x c f x x c + + → → = = 又因为 ( ) f x 在(,)?∞ +∞ 内连续, ( ) f x 必在 x c = 处连续 所以 ( ) ( ) lim lim ( ) x c x c f x f x f c + ? → → = = ,即2211ccc (10)【答案】 1 ln3 2 【详解】 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x x f x x x x x x + + ? ? + = = ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ,令1txx=+,得 ( ) 2 2 t f t t = ? 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 2 ln 6 ln 2 ln3 2 2 2 2 x f x dx dx x x ? ∫ ∫ . (11)【答案】 4 π 【 详解】()22221()2DDDxydxdy x dxdy x y dxdy ? = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 利用函数奇偶性 2 1 2 0 0 1 2 4 d r rdr π π θ = = ∫ ∫ . - 7 - (12)【答案】 1 y x = 【详解】由dy y dx x ? = ,两端积分得 1 ln ln y x C ? = + ,所以 1 x C y = + ,又(1) 1 y = ,所以1yx=.(13)【答案】3 【详解】 A 的特征值为1,2,2,所以 1 A? 的特征值为1,1 2,1 2, 所以 1 4A E ? ? 的特征值为 4 1 1 3 * ? = , 4 1 2 1 1 * ? = , 4 1 2 1 1 * ? = 所以 1 4 3 1 1 3 B E ? (14)【答案】 1 1 2 e? 【详解】由22()DX EX EX = ? ,得22()EX DX EX = + ,又因为 X 服从参数为 1 的泊松 分布,所以 1 DX EX = = ,所以 2 1 1 2 EX = + = ,所以 { } 2 1 1 1 1 2 2 2 P X e e ? ? = = = ! . 三、解答题 (15) 【详解】 方法一: 2 2 0 0 1 sin 1 sin lim ln lim ln 1 1 x x x x x x x x → → ? ? = + ? ? ? ? ? 3 2 0 0 0 sin cos 1 sin 1 lim lim lim 3 6 6 x x x x x x x x x x → → → ? ? 方法二: 2 2 3 0 0 0 1 sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2 sin 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → ? ? = 洛必达法则 2 0 sin 1 lim 6 6 x x x x → ? = ? 洛必达法则 (16) 【详解】(I) 2 2 xdx ydy dz x y z dx dy dz ?′ 1 2 2 dz x dx y dy ? ? ? ′ ′ ′ ( ) ( ) 2 2 1 x dx y dy dz ? ? ? ′ ′ ? = ′+ ( ) 1 ?′ ≠ ? ∵ (II) 由上一问可知 2 2 , 1 1 z x z y x y ? ? ? ? ′ ′ = = ′ ′ ? + ? + , 所以 ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 z z x y y x u x y x y x y x y x y ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ ′ ′ ′ - 8 - 所以 2 2 3 3 2 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) 1 1 1 1 1 x z u x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ? ? ′′ + ′′ ′ + ? + + + + . (17) 【详解】 曲线 1 xy = 将区域分成两 个区域 1 D 和23DD+,为了便于计算继续对 区域分割,最后为 ( ) max ,1 D xy dxdy ∫∫ 1 2 3 D D D xydxdy dxdy dxdy = + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 1 1 x x dx dy dx dy dx xydy = + + 15 1 2ln 2 ln 2 4 = + + ? 19 ln 2 4 = + (18) 【详解】 方法一:(I) 由积分的性质知对任意的实数t , 2 0 2 2 0 2 t t t t f x dx f x dx f x dx f x dx + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 令2xu=+,则 2 0 2 0 0 2 t t t t f x dx f u du f u du f x dx + ∫ ∫ ∫ ∫ 所以 2 0 2 0 2 0 0 t t t t f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + = + ? = (II) 由(1)知,对任意的t 有()()2220tfxdx f x dx + = ∫ ∫ ,记()20afxdx = ∫ ,则()0()2xGxfudu ax = ? ∫ . 所以,对任意的 x , ( ) ( ) 2 0 0 ( 2) ( ) 2 ( 2) 2 x x G x G x f u du a x f u du ax + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 0 x x f u du a f u du a + ∫ ∫ 所以 ( ) G x 是周期为 2 的周期函数. 方法二:(I) 设2()()ttFtfxdx + = ∫ ,由于 ( ) ( 2) ( ) 0 F t f t f t 所以 ( ) F t 为常数, 从而有()(0) F t F = . 而20(0) ( ) F f x dx = ∫ , 所以20()()Ftfxdx = ∫ , 即220()()ttfxdx f x dx + = ∫ ∫ . O 0.5 2 x D1 D3 D2 - 9 - (II) 由(I)知,对任意的t 有()()2220tfxdx f x dx + = ∫ ∫ ,记()20afxdx = ∫ ,则()0()2xGxfudu ax = ? ∫ , ( ) 2 0 ( 2) 2 ( 2) x G x f u du a x + + = ? + ∫ 由于对任意 x ,( ) ( 2) 2 ( 2) 2 ( ) G x f x a f x a ′ ( ) 2 ( ) G x f x a ′ = ? 所以 ( ) ( 2) ( ) 0 G x G x ′ + ? = ,从而 ( 2) ( ) G x G x + ? 是常数 即有 ( 2) ( ) (2) (0) 0 G x G x G G 所以 ( ) G x 是周期为 2 的周期函数. (19) 【详解】 方法一:设nA为用于第 n 年提取 (10 9 ) n + 万元的贴现值,则(1 ) (10 9 ) n n A r n ? = + + 故1111110 9 1 9 10 200 9 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n n n n n n n A A r r r r + + + + + 设1()(1,1) n n S x nx x ∞ = = ∈ ? ∑ 因为 2 1 1,1) 1 (1 ) n n x x S x x x x x x x ∞ = ′ ′ ? ? ∑ 所以 1 1 ( ) ( ) 420 1 1.05 S S r = = + (万元) 故200 9 420 3980 A 万元),即至少应存入 3980 万元. 方法二:设第t 年取款后的余款是 t y ,由题意知 t y 满足方程 1 (1 0.05) (10 9 ) t t y y t ? 即11.05 (10 9 ) t t y y t ? 1) (1)对应的齐次方程 1 1.05 0 t t y y ? ? = 的通解为 (1.05)t t y C = 设(1)的通解为 * t y at b = + ,代入(1)解得 180 a = , 3980 b = 所以(1)的通解为 (1.05) 180 3980 t t y C t = + + 由0yA=,0ty≥得3980 A C = + 0 C ≥ 故A至少为 3980 万元. (20) 【详解】(I) - 10 - 证法一: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 2 1 0 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 3 0 1 2 4 0 1 3 4 ( 1) 2 ( 1) 3 2 3 1 ( 1) 0 n n n a a a a a a a a a A r ar a a a a a a a n a a n a r ar a n a n n n a n ? = ? = ? + + … 证法二:记||nDA=,下面用数学归纳法证明 ( 1) n n D n a = + . 当1n=时,2222122112221301240134(1) 2 ( 1) 3 2 3 1 ( 1) 0 n n n a a a a a a a a a A r ar a a a a a a a n a a n a r ar a n a n n n a n ? = ? = ? + + … 1 2 D a = , 结论成立. 当2n=时, 2 2 2 2 1 3 2 a D a a a = = ,结论成立. 假设结论对小于 n 的情况成立.将nD按第 1 行展开得 - 11 - 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( 1) ( 1) n n n n n n n a a a a D aD a a aD a D ana a n a n a ? ? ? ? ? = ? 故||(1) n A n a = + 证法三:记||nDA=,将其按第一列展开得 2 1 2 2 n n n D aD a D ? ? = ? , 所以 2 1 1 2 1 2 ( ) n n n n n n D aD aD a D a D aD 2 2 2 3 2 1 ( ) ( ) n n n n a D aD a D aD a ? ? ? 即12122()2nnnnnnnnDaaD a a a aD a a D ? ? ? ? 2 1 2 1 ( 2) ( 1) n n n n n a a D n a a D ? ? 1 ( 1) 2 ( 1) n n n n a a a n a ? (II) 因为方程组有唯一解,所以由 Ax B = 知0A≠,又 ( 1) n A n a = + ,故0a≠.由克莱姆法则,将nD的第 1 列换成b ,得行列式为 2 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 0 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n a a a a a a a a D na a a a a ? ? * ? * ? = = = 所以 1 1 ( 1) n n D n x D n a ? = = + (III) 方程组有无穷多解,由0A=,有 0 a = ,则方程组为 - 12 - 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 1 n ? ,所以方程组有无穷多解,其通解为 ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 0 , T T k k + 为任意常数. (21)【详解】(I) 证法一:假设 1 2 3 , , α α α 线性相关.因为 1 2 , α α 分别属于不同特征值的特征向量,故12,αα线性无关,则3α可由 1 2 , α α 线性表出,不妨设 3 1 1 2 2 l l α α α = + ,其中 1 2 , l l 不全为零(若12,ll同时为 0,则3α为0,由323Aα α α = + 可知 2 0 α = ,而特征向量都是非 0 向量,矛盾) ∵ 1 1, Aα α = ? 2 2 Aα α = ∴ 3 2 3 2 1 1 2 2 A l l α α α α α α 又311221122()AAllllααααα ∴ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 l l l l α α α α α 整理得: 1 1 2 2 0 l α α + = 则12,αα线性相关,矛盾. 所以, 1 2 3 , , α α α 线性无关. 证法二:设存在数 1 2 3 , , k k k ,使得 1 1 2 2 3 3 0 k k k α α α + + = (1) 用A左乘(1)的两边并由 1 1, Aα α = ? 2 2 Aα α = 得1123233()0kkkkααα2) (1)—(2)得113220kkαα?=(3) 因为 1 2 , α α 是A的属于不同特征值的特征向量,所以 1 2 , α α 线性无关,从而 1 3 0 k k = = ,代入(1)得220kα=,又由于 2 0 α ≠ ,所以 2 0 k = ,故123,,ααα线性无关. (II) 记123(,,)Pααα=,则 P 可逆, 1 2 3 1 2 3 AP A A A A α α α α α α = = 1 2 2 3 ( , , ) α α α α = ? + 1 2 3 1 0 0 ( , , ) 0 1 1 0 0 1 α α α ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? - 13 - 所以 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P AP ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? . (22)【详解】 (I) 1 2 0 1 ( 0, ) 1 1 1 1 2 ( 0) ( 0) ( ) 1 2 2 ( 0) 2 2 P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X = ≤ = ∫ (II) Z F z P Z z P X Y z { , 1} { , 0} { , 1} P X Y z X P X Y z X P X Y z X { 1, 1} { , 0} { 1, 1} P Y z X P Y z X P Y z X { 1} { 1} { } { 0} { 1} { 1} P Y z P X P Y z P X P Y z P X [ ] 1 { 1} { } { 1} 3 P Y z P Y z P Y z [ ] 1 ( 1) ( ) ( 1) 3 Y Y Y F z F z F z 所以 [ ] 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 3 Z Y Y Y f z f z f z f z 1 , 1 2 3 0, z ? ? ≤ < ? = ? ? ? 其它 (23) 【详解】(I) 因为 2 ( , ) X N μ σ ? ,所以 2 ( , ) X N n σ μ ? ,从而 2 , E X DX n σ μ = = . 因为 2 2 1 ( ) ( ) E T E X S n = ? 2 2 1 ( ) E X E S n = ? 2 2 1 ( ) ( ) DX E X E S n = + ? 2 2 2 2 1 1 n n σ μ σ μ = + ? = 所以,T 是2μ的无偏估计 (II) 方法一: 2 2 ( ) ( ) D T ET ET 0 E T = , 2 2 ( ) 1 E S σ = = 所以 2 ( ) D T ET = 4 4 2 2 2 2 ( ) S E X X S n n = ? ? + 4 2 2 4 2 2 1 E X E X E S E S n n = ? + 因为 (0,1) X N ? ,所以 1 (0, ) X N n ? , - 14 - 有10, E X DX n 2 2 1 E X DX E X n = + = 所以 2 2 4 2 2 2 2 1 E X D X E X D n X D X E X n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 2 2 2 1 ( ) D n X D X n ? ? = + ? ? 2 2 2 1 1 3 2 n n n ? ? = ? + = ? ? ? ? ( ) 2 4 2 2 2 2 2 ( ) 1 ES E S DS ES DS ? ? ? ? ? ? 因为 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) n S W n S n χ σ ? = = ? ? ? ,所以 2( 1) DW n = ? , 又因为 2 2 ( 1) DW n DS = ? ,所以 2 2 ( 1) DS n = ? ,所以 4 2 1 1 ( 1) 1 n ES n n + = + = ? ? 所以 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 n ET n n n n n + ? 2 ( 1) n n = ? . 方法二:当0, 1 μ σ = = 时221()()DTDXSn=?(注意 X 和2S独立) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) DX DS D nX D n S n n n n ? ? ? ? ?
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- 1 - 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设函数 ( ) f x 在区间[ 1,1] ? 上连续,则0x=是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x = ∫ 的( ) ( ) A 跳跃间断点. ( ) B 可去间断点. ( ) C 无穷间断点. ( ) D 振荡间断点. (2)曲线段方程为 ( ) y f x = ,函数 ( ) f x 在区间 [0, ] a 上有连续的导数,则定积分 0 ( ) a t af x dx ∫ 等于( ) ( ) A 曲边梯形 ABCD 面积. ( ) B 梯形 ABCD 面积. ( ) C 曲边三角形 ACD 面积. ( ) D 三角形 ACD 面积. (3)已知 2 4 ( , ) x y f x y e + = ,则(A) (0,0) x f ′ , (0,0) y f ′ 都存在 (B) (0,0) x f ′ 不存在, (0,0) y f ′ 存在 (C) (0,0) x f ′ 不存在, (0,0) y f ′ 不存在 (D) (0,0) x f ′ , (0,0) y f ′ 都不存在 (4)设函数 f 连续,若2222()(,)uv D f x y f u v dxdy x y + = + ∫∫ ,其中 uv D 为图中阴影部分,则Fu?=?()(A) 2 ( ) vf u (B) 2 ( ) v f u u (C) ( ) vf u (D) ( ) v f u u (5)设A为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 3 0 A = ,则( ) ( ) A E A ? 不可逆, E A + 不可逆. ( ) B E A ? 不可逆, E A + 可逆. ( ) C E A ? 可逆, E A + 可逆. ( ) D E A ? 可逆, E A + 不可逆. (6)设1221A??=????则在实数域上域与 A 合同矩阵为( ) - 2 - ( ) A 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . ( ) B 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . ( ) C 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? . ( ) D 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? . (7)随机变量 , X Y 独立同分布且 X 分布函数为 ( ) F x ,则{}max , Z X Y = 分布函数为 ( ) ( ) A ( ) 2 F x . ( ) B ( ) ( ) F x F y . ( ) C ( ) 2 1 1 F x ? ? ? ? D ( ) ( ) 1 1 F x F y ? ? ? ? ? ? (8)随机变量 ( ) ~ 0,1 X N , ( ) ~ 1,4 Y N 且相关系数 1 XY ρ = ,则( ) ( ) A { } 2 1 1 P Y X B { } 2 1 1 P Y X = ? = . ( ) C { } 2 1 1 P Y X D { } 2 1 1 P Y X = + = . 二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)设函数 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x ? + ≤ ? = ? > ? ? 在(,)?∞ +∞ 内连续,则c=.(10)设341()1xxfxxx++=+,则 2 2 2 f x dx = ∫ . (11)设22{( , ) 1} D x y x y = + ≤ ,则2()Dxydxdy ? = ∫∫ . (12)微分方程 0 xy y ′+ = 满足条件 (1) 1 y = 的解 y = . (13)设3阶矩阵 A 的特征值为 1,2,2,E 为3阶单位矩阵,则14_____ A E ? ? = . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则{}2PXEX = = . 三、解答题:15-23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分) 求极限 2 0 1 sin lim ln x x x x → . (16) (本题满分 10 分) 设(,)zzxy=是由方程 ( ) 2 2 x y z x y z ? 所确定的函数, 其中? 具有 2 阶导数且 1 ?′ ≠ ? 时. - 3 - (1)求dz (2)记()1,zzuxyxyxy????=????????,求 u x ? ? . (17) (本题满分 11 分) 计算 max( ,1) , D xy dxdy ∫∫ 其中 {( , ) 0 2,0 2} D x y x y (18) (本题满分 10 分) 设()fx是周期为 2 的连续函数, (1)证明对任意实数t ,有()()220ttfxdx f x dx + = ∫ ∫ ; (2)证明 2 0 2 x t t G x f t f s ds dt + ? ? = ? ? ? ? ? ∫ ∫ 是周期为 2 的周期函数. (19) (本题满分 10 分) 设银行存款的年利率为 0.05 r = ,并依年复利计算,某基金会希望通过存款 A 万元,实现 第一年提取 19 万元,第二年提取 28 万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律 一直提取下去,问A至少应为多少万元? (20) (本题满分 12 分) 设矩阵 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a * ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ,现矩阵 A 满足方程 AX B = ,其中 ( ) 1, , T n X x x = , ( ) 1,0, ,0 B = , (1)求证 ( ) 1 n A n a = + ; (2) a 为何值,方程组有唯一解; (3) a 为何值,方程组有无穷多解. (21) (本题满分 10 分) 设A为3阶矩阵, 1 2 , a a 为A的分别属于特征值 1,1 ? 特征向量, 向量 3 a 满足 3 2 3 Aa a a = + , 证明(1) 1 2 3 , , a a a 线性无关; (2)令()123,,Paaa=,求 1 P AP ? . (22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 与Y 相互独立, X 的概率分布为 { } ( ) 1 1,0,1 3 P X i i Y 的概率密度 为()1010Yyfy≤≤?=??其它 ,记ZXY=+-4-(1)求102PZX??≤=????;(2)求Z的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 1 2 , , , n X X X 是总体为2(,)Nμσ的简单随机样本.记11niiXXn==∑,2211()1niiSXXn==??∑,221TXSn=?.(1)证T是2μ的无偏估计量. (2)当0, 1 μ σ = = 时 ,求 DT . - 5 - 2008 年考研数学(三)真题解析 一、选择题 (1)【答案】 B 【详解】 0 0 0 0 ( ) lim ( ) lim lim 0 x x x x f t dt g x f x f x → → → = = = ∫ , 所以 0 x = 是函数 ( ) g x 的可去间断点. (2)【答案】C 【详解】 0 0 0 0 0 a a a a a xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx ∫ ∫ ∫ ∫ 其中 ( ) af a 是矩形 ABOC 面积, 0 ( ) a f x dx ∫ 为曲边梯形 ABOD 的面积,所以 0 ( ) a xf x dx ′ ∫ 为 曲边三角形的面积. (3)【答案】 B 【详解】 2 4 0 0 0 0 ( ,0) (0,0) 1 1 (0,0) lim lim lim 0 x x x x x x f x f e e f x x x + → → → ? ? ? ′ = = = ? 0 0 1 1 lim lim 1 x x x x e e x x + + → → ? ? = = , 0 0 1 1 lim lim 1 x x x x e e x x ? ? ? → → ? ? = = ? 故(0,0) x f ′ 不存在. 2 4 2 0 2 0 0 0 0 (0, ) (0,0) 1 1 (0,0) lim lim lim lim 0 0 y y y y y y y f y f e e y f y y y y + → → → → ? ? ? ? 所以 (0,0) y f ′ 存在.故选 B . (4)【答案】 A 【详解】用极坐标得 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 1 1 , ( ) v u u f r r D f u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v + = = = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ 所以 ( ) 2 F vf u u ? = ? . (5)【答案】C 【详解】 2 3 ( )( ) E A E A A E A E 2 3 ( )( ) E A E A A E A E 故,EAEA?+均可逆. (6)【答案】 D 【 详解】记1221D???=?????,则()2121421EDλλλλ? ? 又-6-()2121421EAλλλλ?? ? ? , 所以 A 和D有相同的特征多项式,所以 A 和D有相同的特征值. 又A和D为同阶实对称矩阵,所以 A 和D相似.由于实对称矩阵相似必合同,故D正确. (7)【答案】 A 【详解】 2 max , Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z (8)【答案】 D 【详解】 用排除法. 设Y aX b = + , 由1XY ρ = , 知道 , X Y 正相关, 得0a>,排除( ) A 、( ) C 由~(0,1), ~ (1,4) X N Y N ,得0, 1, EX EY = = 所以 ( ) ( ) E Y E aX b aEX b = + = + 0 1, a b = * + = 所以 1 b = . 排除( ) B . 故选择( ) D . 二、填空题 (9)【答案】1 【详解】由题设知 | | 0 c x ≥ ≥ ,所以 2 2 , ( ) 1, 2 , x x c f x x c x c x x c > ? ? ? ?? < ? ? 因为 ( ) 2 2 lim lim( 1) 1 x c x c f x x c ? ? → → 2 2 lim lim x c x c f x x c + + → → = = 又因为 ( ) f x 在(,)?∞ +∞ 内连续, ( ) f x 必在 x c = 处连续 所以 ( ) ( ) lim lim ( ) x c x c f x f x f c + ? → → = = ,即2211ccc (10)【答案】 1 ln3 2 【详解】 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x x f x x x x x x + + ? ? + = = ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ,令1txx=+,得 ( ) 2 2 t f t t = ? 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 2 ln 6 ln 2 ln3 2 2 2 2 x f x dx dx x x ? ∫ ∫ . (11)【答案】 4 π 【 详解】()22221()2DDDxydxdy x dxdy x y dxdy ? = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 利用函数奇偶性 2 1 2 0 0 1 2 4 d r rdr π π θ = = ∫ ∫ . - 7 - (12)【答案】 1 y x = 【详解】由dy y dx x ? = ,两端积分得 1 ln ln y x C ? = + ,所以 1 x C y = + ,又(1) 1 y = ,所以1yx=.(13)【答案】3 【详解】 A 的特征值为1,2,2,所以 1 A? 的特征值为1,1 2,1 2, 所以 1 4A E ? ? 的特征值为 4 1 1 3 * ? = , 4 1 2 1 1 * ? = , 4 1 2 1 1 * ? = 所以 1 4 3 1 1 3 B E ? (14)【答案】 1 1 2 e? 【详解】由22()DX EX EX = ? ,得22()EX DX EX = + ,又因为 X 服从参数为 1 的泊松 分布,所以 1 DX EX = = ,所以 2 1 1 2 EX = + = ,所以 { } 2 1 1 1 1 2 2 2 P X e e ? ? = = = ! . 三、解答题 (15) 【详解】 方法一: 2 2 0 0 1 sin 1 sin lim ln lim ln 1 1 x x x x x x x x → → ? ? = + ? ? ? ? ? 3 2 0 0 0 sin cos 1 sin 1 lim lim lim 3 6 6 x x x x x x x x x x → → → ? ? 方法二: 2 2 3 0 0 0 1 sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2 sin 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → ? ? = 洛必达法则 2 0 sin 1 lim 6 6 x x x x → ? = ? 洛必达法则 (16) 【详解】(I) 2 2 xdx ydy dz x y z dx dy dz ?′ 1 2 2 dz x dx y dy ? ? ? ′ ′ ′ ( ) ( ) 2 2 1 x dx y dy dz ? ? ? ′ ′ ? = ′+ ( ) 1 ?′ ≠ ? ∵ (II) 由上一问可知 2 2 , 1 1 z x z y x y ? ? ? ? ′ ′ = = ′ ′ ? + ? + , 所以 ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 z z x y y x u x y x y x y x y x y ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ ′ ′ ′ - 8 - 所以 2 2 3 3 2 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) 1 1 1 1 1 x z u x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ? ? ′′ + ′′ ′ + ? + + + + . (17) 【详解】 曲线 1 xy = 将区域分成两 个区域 1 D 和23DD+,为了便于计算继续对 区域分割,最后为 ( ) max ,1 D xy dxdy ∫∫ 1 2 3 D D D xydxdy dxdy dxdy = + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 1 1 x x dx dy dx dy dx xydy = + + 15 1 2ln 2 ln 2 4 = + + ? 19 ln 2 4 = + (18) 【详解】 方法一:(I) 由积分的性质知对任意的实数t , 2 0 2 2 0 2 t t t t f x dx f x dx f x dx f x dx + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 令2xu=+,则 2 0 2 0 0 2 t t t t f x dx f u du f u du f x dx + ∫ ∫ ∫ ∫ 所以 2 0 2 0 2 0 0 t t t t f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + = + ? = (II) 由(1)知,对任意的t 有()()2220tfxdx f x dx + = ∫ ∫ ,记()20afxdx = ∫ ,则()0()2xGxfudu ax = ? ∫ . 所以,对任意的 x , ( ) ( ) 2 0 0 ( 2) ( ) 2 ( 2) 2 x x G x G x f u du a x f u du ax + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 0 x x f u du a f u du a + ∫ ∫ 所以 ( ) G x 是周期为 2 的周期函数. 方法二:(I) 设2()()ttFtfxdx + = ∫ ,由于 ( ) ( 2) ( ) 0 F t f t f t 所以 ( ) F t 为常数, 从而有()(0) F t F = . 而20(0) ( ) F f x dx = ∫ , 所以20()()Ftfxdx = ∫ , 即220()()ttfxdx f x dx + = ∫ ∫ . O 0.5 2 x D1 D3 D2 - 9 - (II) 由(I)知,对任意的t 有()()2220tfxdx f x dx + = ∫ ∫ ,记()20afxdx = ∫ ,则()0()2xGxfudu ax = ? ∫ , ( ) 2 0 ( 2) 2 ( 2) x G x f u du a x + + = ? + ∫ 由于对任意 x ,( ) ( 2) 2 ( 2) 2 ( ) G x f x a f x a ′ ( ) 2 ( ) G x f x a ′ = ? 所以 ( ) ( 2) ( ) 0 G x G x ′ + ? = ,从而 ( 2) ( ) G x G x + ? 是常数 即有 ( 2) ( ) (2) (0) 0 G x G x G G 所以 ( ) G x 是周期为 2 的周期函数. (19) 【详解】 方法一:设nA为用于第 n 年提取 (10 9 ) n + 万元的贴现值,则(1 ) (10 9 ) n n A r n ? = + + 故1111110 9 1 9 10 200 9 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n n n n n n n A A r r r r + + + + + 设1()(1,1) n n S x nx x ∞ = = ∈ ? ∑ 因为 2 1 1,1) 1 (1 ) n n x x S x x x x x x x ∞ = ′ ′ ? ? ∑ 所以 1 1 ( ) ( ) 420 1 1.05 S S r = = + (万元) 故200 9 420 3980 A 万元),即至少应存入 3980 万元. 方法二:设第t 年取款后的余款是 t y ,由题意知 t y 满足方程 1 (1 0.05) (10 9 ) t t y y t ? 即11.05 (10 9 ) t t y y t ? 1) (1)对应的齐次方程 1 1.05 0 t t y y ? ? = 的通解为 (1.05)t t y C = 设(1)的通解为 * t y at b = + ,代入(1)解得 180 a = , 3980 b = 所以(1)的通解为 (1.05) 180 3980 t t y C t = + + 由0yA=,0ty≥得3980 A C = + 0 C ≥ 故A至少为 3980 万元. (20) 【详解】(I) - 10 - 证法一: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 2 1 0 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 3 0 1 2 4 0 1 3 4 ( 1) 2 ( 1) 3 2 3 1 ( 1) 0 n n n a a a a a a a a a A r ar a a a a a a a n a a n a r ar a n a n n n a n ? = ? = ? + + … 证法二:记||nDA=,下面用数学归纳法证明 ( 1) n n D n a = + . 当1n=时,2222122112221301240134(1) 2 ( 1) 3 2 3 1 ( 1) 0 n n n a a a a a a a a a A r ar a a a a a a a n a a n a r ar a n a n n n a n ? = ? = ? + + … 1 2 D a = , 结论成立. 当2n=时, 2 2 2 2 1 3 2 a D a a a = = ,结论成立. 假设结论对小于 n 的情况成立.将nD按第 1 行展开得 - 11 - 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( 1) ( 1) n n n n n n n a a a a D aD a a aD a D ana a n a n a ? ? ? ? ? = ? 故||(1) n A n a = + 证法三:记||nDA=,将其按第一列展开得 2 1 2 2 n n n D aD a D ? ? = ? , 所以 2 1 1 2 1 2 ( ) n n n n n n D aD aD a D a D aD 2 2 2 3 2 1 ( ) ( ) n n n n a D aD a D aD a ? ? ? 即12122()2nnnnnnnnDaaD a a a aD a a D ? ? ? ? 2 1 2 1 ( 2) ( 1) n n n n n a a D n a a D ? ? 1 ( 1) 2 ( 1) n n n n a a a n a ? (II) 因为方程组有唯一解,所以由 Ax B = 知0A≠,又 ( 1) n A n a = + ,故0a≠.由克莱姆法则,将nD的第 1 列换成b ,得行列式为 2 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 0 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n a a a a a a a a D na a a a a ? ? * ? * ? = = = 所以 1 1 ( 1) n n D n x D n a ? = = + (III) 方程组有无穷多解,由0A=,有 0 a = ,则方程组为 - 12 - 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 1 n ? ,所以方程组有无穷多解,其通解为 ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 0 , T T k k + 为任意常数. (21)【详解】(I) 证法一:假设 1 2 3 , , α α α 线性相关.因为 1 2 , α α 分别属于不同特征值的特征向量,故12,αα线性无关,则3α可由 1 2 , α α 线性表出,不妨设 3 1 1 2 2 l l α α α = + ,其中 1 2 , l l 不全为零(若12,ll同时为 0,则3α为0,由323Aα α α = + 可知 2 0 α = ,而特征向量都是非 0 向量,矛盾) ∵ 1 1, Aα α = ? 2 2 Aα α = ∴ 3 2 3 2 1 1 2 2 A l l α α α α α α 又311221122()AAllllααααα ∴ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 l l l l α α α α α 整理得: 1 1 2 2 0 l α α + = 则12,αα线性相关,矛盾. 所以, 1 2 3 , , α α α 线性无关. 证法二:设存在数 1 2 3 , , k k k ,使得 1 1 2 2 3 3 0 k k k α α α + + = (1) 用A左乘(1)的两边并由 1 1, Aα α = ? 2 2 Aα α = 得1123233()0kkkkααα2) (1)—(2)得113220kkαα?=(3) 因为 1 2 , α α 是A的属于不同特征值的特征向量,所以 1 2 , α α 线性无关,从而 1 3 0 k k = = ,代入(1)得220kα=,又由于 2 0 α ≠ ,所以 2 0 k = ,故123,,ααα线性无关. (II) 记123(,,)Pααα=,则 P 可逆, 1 2 3 1 2 3 AP A A A A α α α α α α = = 1 2 2 3 ( , , ) α α α α = ? + 1 2 3 1 0 0 ( , , ) 0 1 1 0 0 1 α α α ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? - 13 - 所以 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P AP ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? . (22)【详解】 (I) 1 2 0 1 ( 0, ) 1 1 1 1 2 ( 0) ( 0) ( ) 1 2 2 ( 0) 2 2 P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X = ≤ = ∫ (II) Z F z P Z z P X Y z { , 1} { , 0} { , 1} P X Y z X P X Y z X P X Y z X { 1, 1} { , 0} { 1, 1} P Y z X P Y z X P Y z X { 1} { 1} { } { 0} { 1} { 1} P Y z P X P Y z P X P Y z P X [ ] 1 { 1} { } { 1} 3 P Y z P Y z P Y z [ ] 1 ( 1) ( ) ( 1) 3 Y Y Y F z F z F z 所以 [ ] 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 3 Z Y Y Y f z f z f z f z 1 , 1 2 3 0, z ? ? ≤ < ? = ? ? ? 其它 (23) 【详解】(I) 因为 2 ( , ) X N μ σ ? ,所以 2 ( , ) X N n σ μ ? ,从而 2 , E X DX n σ μ = = . 因为 2 2 1 ( ) ( ) E T E X S n = ? 2 2 1 ( ) E X E S n = ? 2 2 1 ( ) ( ) DX E X E S n = + ? 2 2 2 2 1 1 n n σ μ σ μ = + ? = 所以,T 是2μ的无偏估计 (II) 方法一: 2 2 ( ) ( ) D T ET ET 0 E T = , 2 2 ( ) 1 E S σ = = 所以 2 ( ) D T ET = 4 4 2 2 2 2 ( ) S E X X S n n = ? ? + 4 2 2 4 2 2 1 E X E X E S E S n n = ? + 因为 (0,1) X N ? ,所以 1 (0, ) X N n ? , - 14 - 有10, E X DX n 2 2 1 E X DX E X n = + = 所以 2 2 4 2 2 2 2 1 E X D X E X D n X D X E X n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 2 2 2 1 ( ) D n X D X n ? ? = + ? ? 2 2 2 1 1 3 2 n n n ? ? = ? + = ? ? ? ? ( ) 2 4 2 2 2 2 2 ( ) 1 ES E S DS ES DS ? ? ? ? ? ? 因为 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) n S W n S n χ σ ? = = ? ? ? ,所以 2( 1) DW n = ? , 又因为 2 2 ( 1) DW n DS = ? ,所以 2 2 ( 1) DS n = ? ,所以 4 2 1 1 ( 1) 1 n ES n n + = + = ? ? 所以 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 n ET n n n n n + ? 2 ( 1) n n = ? . 方法二:当0, 1 μ σ = = 时221()()DTDXSn=?(注意 X 和2S独立) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) DX DS D nX D n S n n n n ? ? ? ? ?