冥王星
3 5 9. 2 48
对数模型T = n+bn 取: lD, 为线iD, n 化
性模型T = n+ b : x
首先, 出观 测数据的图像 ( ) 由于图像 画略. 过( ,)使 我们想到幂函数 模型= n 6 ( ) 11, D , 1 将( )两 端取对数, 到1 得
l T = la + bn n n iD,
记Y = l T, = l a, = lD , n c n n
双曲线模型T = 1( )取 Y: 1 T, / n+ , / 化为线性模 型T: n+ : 双曲线 模型: D/ n+ ) 取Y : 1 T. ( , /
=
() 2
1 D, 为线性模型T : 6+ 僦; / 化双曲线 模型: ( n+ b / 取: 1 D, D)D, / 由于 模型形式未知, 们经常以残差平方和我
化为线性模型T : 6+僦 :
则( ) 为对 数线性模型Y = c+ b ( ) 2化 x, 3
20 02年 第7期 数学通报
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( 对线 性模型 , 残差平方和为观测 数据 与估计值之 差的平方和; 可化为线 性模型的曲线 , 差平方对残和为变换后 的观测 数据与估 计值 的平方 和) 最小 作为比较 标准, 可以取 其它标准, 相关系数r 也如最大, 复相关系数 尺最大, F值 最大, P值 或或或最小等. 文取以残 差平方和最 小为标准, 便列本顺出将 原始模型线性化后所求的其它标准. 本文对数据 , 种模型见表 1 七.由 表1 应选模型l = , n 0 0 0 6 6+ 14 9 5n 转换后可得幂函数模.0 2 4 .9 9 1D, 型, 残差平方和与0已非 常接近, 关系数 已近其相似为1小 数点后6位 均为9 拟合效果之好在通常, ,
所研究的问题 中很 少见.
表1
参数最好有实 际意义 . 这样 , 求的模型对实 际问 所题或理论研究才 可能有指导意 义. 例如 , 开普勒根 据第谷(yh ,56 —10 )的 长期天文观测数T e o 14 61 据, 结出行星运动的三大定律. 顿( e tn 总牛N wo , 14 6 2—12 ) 立了微 积分的运算体系后 , 开普77 建受勒三定律 和重力的启发, 功地运用微积分, 开成从普勒三定 律推导出万有引力定律, 反过来从万又有引力定律推导出开普 勒三定律. 即使 仅使用计算器, 用的七种模型的实现常也不存 在任何实质上 的困难 . 本文所 介绍的七 种模型, 除线 性模型外, 它其均是可化为线性模型的曲线模型, 非一般曲线 并模型的讨 论. 线性模型的讨 论可参考[ 非6—7 . . ]
本文 是将原 始模 型线性 化后 , 以残差 平方 取和最 小为标准. 所求线性化模型转化为原始模将
型后, 原始非线性模型的残差平方和是两回事 , 与
模型
I nr=00 .0 +1495n . 9ID 9
残平方 差和
0 00 . 04 0
055 .0钾 l. 3 0踟B2
相数关系 , 值
P 值
099 55 9 2 . . 0 . 9 I 9I 3 2 0 l 9 96 B 3 0 0
092舒9 205 000 .89 8 0. . l D 08 9l .卿 68 2. 0册 l 77 2 0 1町 .,
r= D (. 5 —. 1D / 1 56 02 3 ) 5 l
n Ir=022 .82+019D .,5
对本文数据按表1 列的七种模型顺序, 始非所原线性模型的残差平方和依次是0 1 ,0 587 , .2 14 1 .1
2 8 0 6 , 02 2 7 7. 4 1 49. , 42 6 2 3 1 451 4. . 11 1 4. 8, 0 2. 6, 4 8 41
r= 1 1 1 一. 9 / / . 7 00 4) (4 l 4 )
r=一l.09+618D 253 .07 r=一2a +4.59n . 285ID
I.17 —05042 26 1 04 0 .2649 .
l 4631 09 82 38 000 4. 3 2 8 . 834 8 9 0. 2 . 1 0 24 . 50 08 5l 0 21 0 . 5 l 8 3 5 2 8 l. 50 006 . l 0 01 3 . 0 3

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