线 性 代 数 试 卷 一,选择题(每题 3 分,共 15 分)
1 a 1 2 1. 若矩阵 A = 0 1 a 2 的秩 r ( A) = 2 , 则 a 的值为 _____________ 1 0 1 2
(A) 0 (C) - 1
(B) 0或 - 1 (D) - 1或者1
2. 设 A 为正交矩阵,且 | A |= 1, 则 A* = _____________ (A) A T (C) A (B) - A T (D) - A
3.设 α , β 是 n 维列向量, α T β ≠ 0 , n 阶方阵 A = E + αβ T , n ≥ 3 ,则在 A 的
n 个特征值中,必然______________ (A) 有 n 个特征值等于 1 (B) 有 n 1 个特征值等于 1 (C) 有 1 个特征值等于 1 (D) 没有 1 个特征值等于 1
4. 设 A, B 为 n 阶方阵,且秩相等,既r ( A) = r ( B) , 则 ______________
(A) r(A-B) = 0 (C) r(A , B) = 2 r(A)
(B) r (A + B) = 2 r(A) (D) r(A , B) ≤ r (A) + r (B)
5. 设矩阵 Am×n 的秩 r ( A) = n , 则非齐次线性方程组 Ax = b _____________ ( A) 一定无解 (C ) 一定有唯一解 二,填空题(每题 3 分,共 15 分) 1.设 A * 是 n 阶方阵 A 的伴随矩阵,行列式 | A |= 2 ,则 | 2 A* | =_____________ 2. D 中第二行元素的代数余子式的和 ∑ A2 j =__________ ,其中
j =1 4
( B) 可能有解 ( D) 一定有无穷多解
D =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3. 已知实二次型 f ( x1, x 2 , x3 ) = x12 + 4 x 1 + 2 x3 + 2ax1 x1 + 2 x 2 x3 正定,则实常数 2
a 的取值范围为________________
-1-
4. 2 n 阶行列式
A B = ________________ ,其中 n 阶矩阵 B A
0 0 0 a
a 0 0 a A= 0 0
0 0 B= b
0 b b 0 0 0
1 0 1 而 5. 设 A= 0 2 0 , n ≥ 2 为正整数,则 A n 2 A n 1 = ______ 1 0 1
三,计算题(每题 9 分,共 54 分) 1. 计算 n 阶行列式
x1 m Dn = x1 x1
1
x2
x3
xn xn xn m
x 2 m x3 x2
1
x3
2 0 0 6 0 0 2. 求矩阵 X 使 AX + BA A BX = 0,其中, A = 0 1 0 , B = 0 1 2 0 0 1 0 2 1 2 x1 + x 2 + a3 x3 + a 4 x 4 = d1 3. 设非齐次线性方程组 x1 2 x 2 + b3 x3 + b4 x 4 = d 2 有三个解向量 c x + c x + 2 x 3 x = d 2 2 3 4 3 1 1
1 1 η1 = , 2 1
2 1 η2 = , 1 1
3 2 η3 = 4 2
求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中 ai , b j , c k , d t 为已知常数) 4. 已知实二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x1 + 3x2 + 3x3 + 2λx2 x3 (λ > 0) 经过正交
2 2 2
2 2 变换 X = QY ,化为标准形 y12 + 2 y 2 + 5 y 3 ,求实参数 λ 及正交矩阵 Q

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