2003年考研数学(四)真题评注
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)极限= .
【分析】 本题属型未定式,化为指数函数求极限即可.
【详解】 =
=
【评注】 对于型未定式的极限,也可直接用公式=进行计算,因此本题也可这样求解:
=
【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第一大题第(1)小题.
(2)= .
【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性,这里有
【详解】 =
=
=
=
=.
【评注】 本题属基本题型,主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.
原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第(3)小题(完全是原题,答案也一样),完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第(2)小题.
(3)设a>0,而D表示全平面,则= .
【分析】 本题积分区域为全平面,但只有当时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】 =
=
【评注】 若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.
完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .
(4)设A,B均为三阶矩阵,E是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=,则
= .
【分析】 应先化简,从AB=2A+B中确定.
【详解】 由AB=2A+B, 知
AB-B=2A-2E+2E,
即有 ,
, ,
可见 ==.
【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题,应先分解出因式A-E,写成逆矩阵的定义形式,从而确定(A-E) 的逆矩阵.
完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.
(5)设n维向量;E为n阶单位矩阵,矩阵
, ,
其中A的逆矩阵为B,则a= -1 .
【分析】 这里为n阶矩阵,而为数,直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设,有

=

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