浙工大之江学院06/07第二学期微积分A期终考试试卷(A卷)
班级 姓名 学号 (共2大张)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一,选择题(每题3分,共9分)
1,二元函数在点处可微是函数在点处偏导数存在的( A )

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分条件也非必要条件
2,下列级数中,条件收敛的是( D )
(A) (B) (C) (D)
3,曲线积分与路径无关,为平面上有向光滑曲线,则( B )
(A) (B) (C) (D)
二, 填空题(每题 3分,共18分)
1,设,则= 12 ;
2,曲面在点的切平面方程是;
3,函数在点 处的梯度 {12,10,-8} ;
4,设 ,则曲线积分=;
5,函数关于的幂级数展开式为;(请注明收敛区间)
6,设是周期为的周期函数,它在上的表达式是,
是其傅里叶级数的和函数,则= -1 ;
三,计算题(前6题每题 7分,7,8两题每题8分,共58分)
设 ,求
, 3'


4'
或 1'
4'
2'
设,其中具有连续的二阶偏导数.求,
2'
2'

3'
设函数是由方程所确定的隐函数,求


3'
3'
1'
交换积分次序,计算
3'

3'
1'
求级数的收敛半径,收敛域及和函数
收敛区间(-4,4) 2'
, 发散
, 发散 收敛域(-4,4) 2'
2'+1'
计算,其中()

:
3'
2'
2'
7,计算曲线积分,其中从到的一段弧.沿逆时针方向
解一: 图示
设: (从0到) 1'
2'
2'
而 2'
∴
1'

解二: 2'
2'
2'
2'
利用Gauss公式计算,是球面的外侧.
图示
4'
2'
2'
四,应用题(共15分)
1,(7分)计算由曲面与平面所围封闭立体的体积
图示 3'
2'
2'
或 2'+ 2'
3'
2,(8分)设平面方程过点,求正参数,使得此平面与三个坐标轴所围的立体体积最小,并求此最小体积.
由题意 1'
目标函数 约束条件 1'
拉氏函数 1'
则 2' 解得 1'
由题意,在内部必存在最小值,且有唯一驻点,故 1'
1'