高等数学专升本辅导教学大纲 课程名称:高等数学专升本辅导 课程代码: 课程类型: 公共任选课 学分: 4 总学时: 64 先修课程:高等数学(理工专/经管专) 适用专业:理工科/经管类各专业 一、课程性质、目的和任务 高等数学专升本辅导是为在校理工类专科生开设的一门选修课,旨在为准备参加专升本考试的学生补足理工科高等数学的必备知识,并在原有知识的基础上作进一步的巩固和提高,因此,选修该课程的学生必须具备已经学完先修课程《理工类专科高等数学(侯风波版)》或《经管专高等应用数学(阎章航等主编)》这一条件,否则无法跟上进度,且难以通过该课程的期末考试. 本课程将选用由浙江大学出版社出版李永琪主编的《高等数学》为主教材,共六章,主要内容包括函数、极限与连续、一元函数微积分学、常微分方程、空间解析几何、多元函数微积分学和无穷级数. 本课程的辅教材为光明日报出版社出版的由山东省普通高等教育专升本招生考试命题研究组及考试命题研究中心组编的山东省高等教育考前冲次高等数学模拟试卷. 二、教学基本要求 了解或理解函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念和基本理论;学会并掌握上述各部分的基本方法.应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、运算能力、空间想象能力,有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确地计算;能综合应用所学知识并解决简单的实际问题. 三、教学内容及要求 第一章、一元函数微积分根要 (一)函数 1.理解函数的概念:函数的定义,函数的表示方法,分段函数. 2.理解和掌握函数的简单性质:单调性,奇偶性,有界性,周期性. 3.了解反函数:反函数的定义,反函数的图像. 4.掌握函数的四由运算和复合运算. 5.理解和掌握基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数. 6.了解初等函数的概念. (二)极限 1.理解数列极限的概念:数列及数列极限的定义. 2.了解数列极限的性质:唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在定理,掌握极限的四则运算法则. 3.掌握函数极限的概念:函数极限的定义,根据极限概念分析函数的变化趋势.会求函数在一点处的左右极限,了解函数在一点处极限存在的充要条件. 4.掌握函数极限的定理:唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理. 5.理解无穷小量和无穷大量:无穷小量和无穷大量的定义,无穷小量和无穷大量的关系,无穷小量和无穷大量的性质,两个无穷小量的比较. 6.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法. (三)连续 1.理解函数连续的概念:函数在一点处连续的定义,左连续和右连续,函数在一点处连续的充要条件,函数的间断点及其分类. 2.掌握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性,会求间断点及确定其类型. 3.掌握闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零点定理),会应用零点定理推证一些简单命题. 4.理解初等函数在其定义域内的连续性,并会利用函数的连续性求极限. (四)导数与微分 1.理解导数的概念及其几何意义,了解可导与连续的关系,会用定义求函数在一点处的导数. 2.会求曲线在一点处的切线方程与法线方程. 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法. 4.掌握隐函数的求导方法、取对数求导法及由参数方程确定的函数的求导方法.会求分段函数的导数. 5.理解高阶导数的概念,会求简单的高阶导数. 6.理解微分的概念,掌握微分的法则,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分. (五)中值定理及导数的应用 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日定理及其它们的几何意义. 2.熟练掌握洛必达法则求未定式极限的方法. 3.掌握利用导数划分函数的单调区间,会利用函数的单调性证明一些简单的不等式. 4.理解极值的概念,掌握函数求极值的最值的方法,会解简单的应用题. 5.会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点. 6.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线. (六)不定积分 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理. 2.熟练掌握不定积分的基本公式. 3.熟练掌握不定积分的第一换元积分法和简单的第二换元积分法. 4.熟练掌握不定积分的分部积分法. (七)定积分及其应用 1.理解定积分的概念与几何意义,了解可积的条件. 2.掌握定积分的基本性质. 3.理解变上限定积分是变上限的函数,掌握变上限定积分求导数的方法. 4.掌握牛顿—莱布尼茨公式. 5.掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 6.理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法. 7.掌握直角坐标系下用定积分求平面图形面积的方法. 第二章、常微分方程 一、一阶微分方程 1.理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、线性和非线性、初始条件和特解. 2.掌握求解一阶微分方程的分离变量法. 3.掌握一阶线性微分方程的求解方法. 二、二阶线性微分方程 1.了解二阶线性微分方程解的结构. 2.掌握二阶线性常系数齐次微分方程的解法. 第三章、向量代数与空间解析几何 (一)向量代数 1.理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影. 2.掌握向量的线性运算,向量的数量积和向量积的计算方法. 3.掌握向量平行、垂直的条件. (二)平面与直线 1.会求平面的点法式方程、一般方程.会判定两平面垂直、平行. 2.会求点到平面的距离. 3.了解直线的一般方程,会求直线的标准(点向式)方程,参数方程,会判定两直线平行、垂直. 4.会判定直线与平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上) 第四章、多元函数微分学 1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限、连续的概念(计算不作要求).会求二元函数的定义域. 2.理解偏导数、全微分的概念,知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法. 4.掌握复合函数一阶偏导数的求法. 5.会求二元函数的全微分. 6.掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法. 7.会求二元函数的无条件极值. 第五章、多元函数微积分学 1.理解二重积分的概念、性质及几何意义. 2.掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法. 3.了解二重积分的简单应用,会求曲顶柱体体积和曲面面积. 4.了解曲线积分和格林公式. 第六章、无穷级数 一、数项级数 1.理解级数收敛、发散的概念,掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质. 2.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法. 3.掌握几何级数、调和级数与级数的敛散性. 4.了解绝对收敛与条件收敛的概念,会使用莱布尼茨判别法. 二、幂级数 1.了解幂级数的概念,收敛半径,收敛区间. 2.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分). 3.掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法. 四、学时分配 序号 课程内容 学时分配(含习题课在内) 1 第一章 一元函数微积分概要 22 2 第二章 微分方程 8 3 第三章 向量代数与空间解析几何 8 4 第四章 多元函数微分学 8 5 第五章 多元函数积分学 8 6 第六章 无穷级数 8 7 总复习 2 8 合计 64 五、课程考核方案 一、课程考核目标 本课程考核是对学生对基本理论、基本概念、基本运算技能的理解和掌握程度的检验,也是对学生能否灵活运用所学的知识、方法与技巧解决实际问题的综合能力的检验. 二、考核原则 本课程的考核突出了概念性强、技艺性强、综合性强、知识覆盖面广和计算过程较为简捷的考核原则,着重以学生综合运用所学知识能力的强弱程度来衡量学生成绩的高低. 三、试题考核内容、范围及比重 一元函数微积分学试题约占50%,微分方程试题约占10%,向量代数与空间解析几何试题约占10%以上,多元函数微分学试题约占10%,多元函数积分学试题约占10%,无穷级数试题约占10%. 四、考核成绩构成 本课程综合成绩总计满分为100分,其中平时考核成绩占20%、期中考核成绩占20%、期末考核成绩占60%. (1)平时成绩满分20分,由学生的出勤情况(占6分)、课堂表现(占6分)和课后作业(占8分)三部分构成; (2)期中成绩根据期中考核结果以百分制的20%评定; (4)期末考核成绩根据期末闭卷考试成绩按百分制的60%评定. 六、推荐教材和教学参考书 使用教材: 李永琪,《高等数学》(专升本),浙江大学出版社. 参考书目: 同济大学应用数学系,《高等数学》第六版(上下册),高等教育出版社. 《高等数学》(经管类)(上册),赵利彬编著,同济大学出版社. 制订:王捷 白振兰 陈永衡 杨淑荣 陈萍萍 薛洪涛 彭西芹 曲志亮 韩蕾 纪秀浩 孙静波 审订:于全训 批准:刘忠利