中学数形结合
数与形是中学数学研究的两类基本对象,相互独立,又互相渗透.尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密,而且在实际应用中若就数而论,缺乏直观性,若就形论缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果.
众所周知数与形这两个基本概念,是数学的两块基石,可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演度、发展而展开的,在数学发展进程中,数和形常常结合一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定的条件互相转化.
从表面上看来,中学数学内容可分为数与形两大部分,中学代数是研究数和数量的学科,中学几何是研究形和空间形式的学科,中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科,实际上,在中学数学各科教学中都渗透了数与形相结合的内容.如:
例:在正三角形ABC外接圆的弧BC上任取一点P,求证:
(1)PB+PC=PA;(2)PB·PC+AB2=PA2
分析:设正ABC边长为a ,PA=X PB=Y PC=Z 由∠BPA=∠CPA=60°
对PAB和PAC使用余弦定理,有:x2+y2-xy=a2 x2+z2-xz=a2
即:y2-xy+ x2- a2=0 z2-xz +x2- a2=0
Y、Z是关于U的方程:u2-xu+ x2- a2=0的两个根.
由韦达定理有:Y+Z=X Y-X=X2-A2
即:PB+PC=PA PB·PC+AB2=PA2这是几何问题转化为代数问题中的三角法.
又如:对每个实数,设F(X)取4X+1 X-Z -2X+4中的最小值,那么+(X)的最的最大值是( )
A、8/3 B、1/3 C、2/3 D、2/5
函数Y=F(X)的图象是图中的实线,联立:Y=—2X+4、Y=X+2解得:X=2/3 Y=8/3,故此题应选"A".这是由代数问题转化为几何题图解法.
以上两题证明数与形之间的联系是密不可分的,两者相畏相承同生共长.在教学中应注意利用它们之间的关系来解决问题.
另外,实数与数轴相结合,复数与坐标平面相结合;函数与其图象相结合.代数方程可表示各种数量关系,它可解决有关长度、面积、体积等问题.二元一次方程,二元一次方程分别表示平面直线,二次曲线等.都应运用到教学中来.以数与形相结合的原则进行教学,这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法,以数形相结合的观点钻研都材,理解数学中的有关概念,公式与法则,掌握数形相结合进行分析问题与解决问题的方法,从而提高运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力.
运用数形结合能揭示数学问题的条件和法论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式的巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种结合寻找解是思路,使问题得到解决的思想方法,在分析问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,根据问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获取简便易行的方法.
运用数形结合思想,包含两方面的内容:一、是运用代数,三角知识,通过数量关系的讨论,去处理几何图形的问题;二是运用几何知识,通过对图形性质的研究,去解决数量关系的问题,就具体的实施方法而论,前者常用的方法有图表法、图解法等.
以下几个例子是关于数形结合解题研究的.
例如:方程X2=2X的解的个数为…
A、0个B、1个C、2个D、3个
错解:在同一坐标系内做出系数Y= X2和Y= 2X的图象,如下图,它们有两个交点,故选(C)
正确分析:事实上
当X<0时,两图象显然有一
个交点,当X>0时考察函
数Y= X2和Y= 2X的增长"速度"变化,
即知它们有两个交点即(2、4)和(4、6),故正确答案应为(D)
数形结合的方法作为数学学科里最常用的一种方法,在课堂教学中要通过数形结合的教学培养学生的思维品质,善于把问题加以转换化的能洞察事物的本质,描示出被掩盖的某些特征.善于结合题目的条件,突破思维定势,及时调整以前的思维途径.能独立地发现、分析和解决问题.解决问题过程中,有意识地进行数形构造,提出新方法,解决新问题.
在教学中应充分调动学生的积极性,在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法.数形结合的教学应当循序渐进,与知识教学学生认识水平相适应,按照反复孕育渗透,初步形成,应用发展,系统整理的顺序逐步完成.在不同的教材中提出不同的教学要求,落实到学生的认知活动中去.精心识但学生训练,并注意与其它的方法综合运用.让学生团龄身于具体的教学过程,才能在教师的引导下逐步领悟,理解和掌握.