第四章_ 材科非线性有限元法
本章所研究的非线性有限元方法是材料非线性有限元。它的非线性是由本构关系的非线性引起的。但它和线弹性有限元一样，都属于小变形问题，因而关于形函数的选取、应变矩阵、应力矩阵及劲度矩阵的形式都是相同的，不同的仅在劲度矩阵是按非线性弹性或弹塑性矩阵计算的，这是材料非线性有限元的基本内容。
4.1非线性弹性有限元法
4.1.1 非线性弹性有限元法的基本公式
对于小变形的非线性弹性问题，其基本方程为:
平衡微分方程_ ___________ ___________ (3-8)
几何方程______ __________________________ (3-2)
物理方程___ ___________________________ (3-19)
或__ _________________________ (3-20)
式中，和的表达式见（3-37）~（3-40），它们是应变强度的函数。边界条件为
位移边界条件：________________________ (3-4)
应力边界条件：______________________ (3-9)
虚功方程是
_______ (3-11)
可见，除表示为物理方程的本构关系外，其它基本方程与边界条件均与线弹性问题相同，而且虚功方程（3-11）不涉及材料性质，因而线弹性有限元的几何关系和由虚功方程得到的单
元和整体平衡方程完全适用于非线性弹住和弹塑性问题，它们是
______________________________ (4-1)
______________________________ (4-2)
___________________________ (4-3)
______________________ (4-4)
将式（4-1）代入（3-2），式（3-2）代入（3-19），再将（3-19）代入（4-3），得
___________________________ (4-5)
其中单元割线劲度矩阵为
______________________ (4-6)
同样可由（4-4）得整体平衡方程
__________________________ (4-7)
整体割线劲度矩阵
___________________ (4-8)
由于与位移有关，式（4-7）是一个非线性方程组。但实际求解时不用（4-7）式，因为求解（4-7）要用直接迭代法，这一方法不但计算量大，且常常不收敛。
在求解非线性方程组时，除直接迭代法要用割线劲度矩阵外，其它方法都要计算切线劲度矩阵。为此，须对非线性弹性有限元的切线劲度矩阵进行研究。
由式（4-4）得
_____________ (4-9)
由上式及Newton法迭代公式（2-7）可得切线劲度矩阵
______________ (4-10)
4.1.2 求解的选代过程
不同的非线性方程组求解方法，迭代过程中的一些具体处理方法也不相同，但对荷载的
处理一般都分级按增量方法计算。
1. 荷载分级
对于实际的工程问题来说，将荷载分级施加是相当重要的，首先，这样做可以模拟实际
施工加载过程，进行所谓"仿真"的数值分析，这时弹塑性问题显得更为重要，因为不同的加