数学奥赛辅导
第一讲 奇数,偶数,质数,合数
知识,方法,技能
I.整数的奇偶性
将全体整数分为两类,凡是2的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数可表为2m(m∈Z),任一奇数可表为2m+1或2m-1的形式.奇,偶数具有如下性质:
(1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;
奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数;
奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数;
(2)奇数的平方都可表为8m+1形式,偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式(m∈Z).
(3)任何一个正整数n,都可以写成的形式,其中m为非负整数,l为奇数.
这些性质既简单又明显,然而它却能解决数学竞赛中一些难题.
Ⅱ.质数与合数,算术基本定理
大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.
一个大于1的整数,如果除了1和它自身以外没有其他正因子,则称此数为质数或素数,否则,称为合数.
显然,1既不是质数也不是合数;2是最小的且是惟一的偶质数.
定理:(正整数的惟一分解定理,又叫算术基本定理)任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积,若不计这些质数的次序,则这种质因子分解表示式是惟一的,进而A可以写成标准分解式:
(*).
其中为质数,为非负整数,i=1,2,…,n.
【略证】由于A为一有限正整数,显然A经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积,把相同的质因子归类整理可得如(*)的形式(严格论证可由归纳法证明).余下只需证惟一性.
设另有为质数,为非负整数,j=1,2,…,m.由于任何一必为中之一,而任一也必居中之一,故n=m.又因
,再者,若对某个i,(不妨设),用除等式两端得:
此式显然不成立(因左端是的倍数,而右端不是).故对一切i=1,2,…,n均成立.惟一性得证.
推论:(合数的因子个数计算公式)若为标准分解式,则A的所有因子(包括1和A本身)的个数等于(简记为)
这是因为,乘积
的每一项都是A的一个因子,故共有个.
定理:质数的个数是无穷的.
【证明】假定质数的个数只有有限多个考察整数由于且又不能被除尽,于是由算术基本定理知,a必能写成一些质数的乘积,而这些质数必异于,这与假定矛盾.故质数有无穷多个.
赛题精讲
例1.设正整数d不等于2,5,13.证明在集合{2,5,13,d}中可以找到两个元素a,b,使得ab-1不是完全平方数. (第27届IMO试题)
【解】由于2×5-1=32,2×13-1=52,5×13-1=82,因此,只需证明2d-1,5d-1,13d-1中至少有一个不是完全平方数.
用反证法,假设它们都是完全平方数,令
2d-1=x2 ①
5d-1=y2 ②
13d-1=z2 ③
x,y,z∈N*
由①知,x是奇数,设x=2k-1,于是2d-1=(2k-1)2,即d=2k2-2k+1,这说明d也是奇数.因此,再由②,③知,y,z均是偶数.
设y=2m,z=2n,代入③,④,相减,除以4得,2d=n2-m2=(n+m)(n-m),从而n2-m2为偶数,n,m必同是偶数,于是m+n与m-n都是偶数,这样2d就是4的倍数,即d为偶数,这与上述d为奇数矛盾.故命题得证.
例2.设a,b,c,d为奇数,,证明:如果a+d=2k,b+c=2m,k,m为整数,那么a=1. (第25届IMO试题)
【证明】首先易证:从而
.再由
因而 ①

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