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    广东省2010高中青年教师命题大赛(25)
    数学试题(理科)
    本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时l20分钟.
    一,选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
    1.设集合,集合,那么下列结论正确的是( )
    A. B. C. D.
    2.若复数满足,且复数在复平面上对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    3.函数,若函数是偶函数,那么的值是( )
    A.1 B. C.2 D.
    4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
    A.若,则 B.若则
    C.若,则 D.若则
    5.为了改善环境,某市打算在燃油中添加某种添加济以减少污染.为了解添加剂作用,该市记录了500台使用新燃油机动车和另外500台使用旧燃油机动车在一段时间内的尾气排放来作比较.提出假设:"新燃油不会使尾气中的污染物减少",计算得,经查临界值表得,则下列结论:①有95%把握认为"新燃油会使机动车尾气中的污染物减少";②若某机动车未使用新燃油,那么有95%的可能性排放污染物增加;③这种添加剂减少污染的有效率为95%.其中正确的序号是( )
    A.①② B.①③ C.②③ D. ①
    6.已知条件:不等式的解集为R;条件:指数函数为增函数.则是的 ( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    7.等差数列的前n项和为,且,则的最小值是( )
    A.7 B. C.8 D.
    8.将函数图像绕原点逆时针方向旋转角,得到曲线.若对于每一个旋转角,曲线都是一个函数的图像,则的最大值是( )
    A. B. C. D.
    二,填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
    (一)必做题(9~12题)
    9.已知向量满足,与的夹角是60°,则= .
    10.离心率,一个焦点与抛物线的焦点重合的椭圆的标准方程是 .
    11.在的展开式中的系数是,则__________.
    12. 按如右图所示的程序框图运算.
    若输入,则输出 ;
    若输出,则输入的取值范围是 .

    (二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)
    13.(几何证明选讲选做题) 如图,AB,CD是⊙O的两条弦,它们相交于P,连结AD,BD.已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的长为_________________.
    14.(不等式选讲选做题) 若不等式的解集为空集,则实数的取值范围是 .
    15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与交于两点,则 .
    三,解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.
    16.(本小题满分12分)
    已知函数.
    (1)求函数的最小正周期;(2),求的值.
    17.(本小题满分12分)
    如图,已知正三棱柱的所有棱长都为2,为中点:
    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的余弦值大小.
    18.(本小题满分14分)
    Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用.下面是利用Monte-Carlo方法来计算定积分.考虑定积分,这时等于由曲线,轴,所围成的区域M的面积,为求它的值,我们在M外作一个边长为1正方形OABC.设想在正方形OABC内随机投掷个点,若个点中有个点落入中,则的面积的估计值为,此即为定积分的估计值I.向正方形中随机投掷10000个点,有个点落入区域M
    (1)若=2099,计算I的值,并以实际值比较误差是否在5%以内
    (2)求的数学期望
    (3)用以上方法求定积分,求I与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率
    附表:
    n
    1899
    1900
    1901
    2099
    2100
    2101
    P(n)
    0.0058
    0.0062
    0.0067
    0.9933
    0.9938
    0.9942
    19. (本小题满分14分)
    已知点P (4,4),圆C:与椭圆E:的一个公共点为A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,直线与圆C相切.
    (1)求m的值与椭圆E的方程;
    (2)设D为直线PF1与圆C 的切点,在椭圆E上是否存在点Q ,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形 若存在,请指出共有几个这样的点 并说明理由.
    20.(本小题满分14分)
    已知函数,
    试讨论的单调性;
    若存在极值,求的零点个数.
    21.(本小题满分14分)
    已知,数列满足:
    (1)求数列的通项公式;
    (2),当时,都在区间(0,1)内变化,且满足时,求所有点所构成图形的面积;
    (3)当时,证明:
    广东省2010高中青年教师命题大赛(25)
    数学试题(理科)参考答案
    一,选择题
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    C
    B
    A
    C
    D
    A
    D
    B
    二,填空题
    9. 10.
    11. 12.4,
    13.8 14. 15.
    三,解答题
    16.解:(Ⅰ)

    . …………………………… 4分
    函数的最小正周期为2. …………………………… 6分
    (Ⅱ)∵,.
    …………………………… 8分

    …………………………… 12分
    17.取中点,连,∵为正三角形,∴,
    ∵在正三棱柱中,平面平面,
    ∴平面 ……………2分
    取中点为,以为原点,,,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则, ………4分
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,∴平面.………………………………………6分
    (2)设平面的法向量为,.
    ,∴,∴,解得,
    令,得为平面的一个法向量, ………………………………9分
    由(1)知平面,∴为平面的法向量,
    ,
    ∴二面角的余弦值大小为. ……………………………12分
    18.解: (1)若=2099,则
    而= …………………………2分
    ∴估计值与实际值的误差为:
    即估计值与实际值的误差在5%以内 ………………………4分
    (2)由题意,每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2, 投掷10000个点有个点落入区域M内,则 …………………………7分
    ∴ …………………………9分
    (3)I与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率为
    =0.9871 …………………………14分
    19.解(1)∵点A(3,1)在圆C上,∴
    又,∴ …………………………2分
    设,∵
    ∴直线的方程为 …………………………4分
    ∵直线与圆C相切
    ∴ …………………………6分

    由 解得
    ∴椭圆E的方程是 …………………………7分
    (2) 直线的方程为
    由得切点 …………………………10分
    又∵P(4,4), ∴线段PD的中点为M(2,3)
    又∵椭圆右焦点
    又,∴线段PD的垂直平分线的斜率为 -2 …………………………12分
    ∵,∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点
    即在椭圆上存在两个点Q,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形. ………………………14分
    (或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明)
    20.解:(1)函数的定义域为
    ………………………2分
    方程的判别式
    (i)当时,,在的定义域内,是增函数………3分
    (ii)当时,
    若,,是增函数
    若,,那么时,,且在处连续,所以是增函数 ………………………4分
    (iii)当或时,,方程有两不等实根
    当时,,当时,恒成立,
    即,是增函数
    当时,,此时的单调性如下表:
    0
    0



    ………………………6分
    综上:当时,在是增函数
    当时,在,是增函数,
    在是减函数…………………7分
    (2)由(1)知当时,有极值
    ∵ ,∴
    且 …………9分
    ∵在是增函数,在是减函数,
    ∴当时,,即在无零点 …………10分
    当时,是增函数,故在至多有一个零点…………11分
    另一方面,∵,,则
    由零点定理:在至少有一个零点 ……………………13分
    ∴在有且只有一个零点
    综上所述,当存在极值时,有且只有一个零点. ………………14分
    21.解:(1)∵
    ∴ ……………………2分
    ∴是以为首项,p为公比的等比数列
    因此,即 ……………………3分
    (2)∵当时,,
    由,得 ……………………4分

    又∵


    即对满足题设的所有点在区域:内……………………6分
    而对区域内的任一点,
    取,
    则,
    即,使得,都是()中的点
    综上可知,点构成的图形是如图所示的圆,其面积为 …………………8分
    (3)∵………………9分
    ∴ …………………10分

    …………………12分
    ∴ …………………14分
    表2.试题知识分值分布
    文科
    理科
    知识版块
    题号
    分值
    题号
    分值
    集合与逻辑
    1,6
    10
    函数与导数
    3,8,20
    24
    立体几何
    4,17
    17
    平面解析几何
    10,19
    19
    算法初步
    12
    5
    概率与统计
    5,11,18
    24
    平面向量与三角
    9,16
    17
    数列
    7,21
    19
    推理与证明
    复数
    1
    5
    坐标系与参数方程
    5
    10
    几何证明选讲
    5
    不等式选讲
    5
    开始
    结束
    输入x


    输出x,k
    A
    B
    C
    A1
    B1
    C1
    D
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