广东省2010高中青年教师命题大赛(25)
数学试题(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时l20分钟.
一,选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,集合,那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.若复数满足,且复数在复平面上对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.函数,若函数是偶函数,那么的值是( )
A.1 B. C.2 D.
4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若则
C.若,则 D.若则
5.为了改善环境,某市打算在燃油中添加某种添加济以减少污染.为了解添加剂作用,该市记录了500台使用新燃油机动车和另外500台使用旧燃油机动车在一段时间内的尾气排放来作比较.提出假设:"新燃油不会使尾气中的污染物减少",计算得,经查临界值表得,则下列结论:①有95%把握认为"新燃油会使机动车尾气中的污染物减少";②若某机动车未使用新燃油,那么有95%的可能性排放污染物增加;③这种添加剂减少污染的有效率为95%.其中正确的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D. ①
6.已知条件:不等式的解集为R;条件:指数函数为增函数.则是的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.等差数列的前n项和为,且,则的最小值是( )
A.7 B. C.8 D.
8.将函数图像绕原点逆时针方向旋转角,得到曲线.若对于每一个旋转角,曲线都是一个函数的图像,则的最大值是( )
A. B. C. D.
二,填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~12题)
9.已知向量满足,与的夹角是60°,则= .
10.离心率,一个焦点与抛物线的焦点重合的椭圆的标准方程是 .
11.在的展开式中的系数是,则__________.
12. 按如右图所示的程序框图运算.
若输入,则输出 ;
若输出,则输入的取值范围是 .
(二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)
13.(几何证明选讲选做题) 如图,AB,CD是⊙O的两条弦,它们相交于P,连结AD,BD.已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的长为_________________.
14.(不等式选讲选做题) 若不等式的解集为空集,则实数的取值范围是 .
15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与交于两点,则 .
三,解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期;(2),求的值.
17.(本小题满分12分)
如图,已知正三棱柱的所有棱长都为2,为中点:
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值大小.
18.(本小题满分14分)
Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用.下面是利用Monte-Carlo方法来计算定积分.考虑定积分,这时等于由曲线,轴,所围成的区域M的面积,为求它的值,我们在M外作一个边长为1正方形OABC.设想在正方形OABC内随机投掷个点,若个点中有个点落入中,则的面积的估计值为,此即为定积分的估计值I.向正方形中随机投掷10000个点,有个点落入区域M
(1)若=2099,计算I的值,并以实际值比较误差是否在5%以内
(2)求的数学期望
(3)用以上方法求定积分,求I与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率
附表:
n
1899
1900
1901
2099
2100
2101
P(n)
0.0058
0.0062
0.0067
0.9933
0.9938
0.9942
19. (本小题满分14分)
已知点P (4,4),圆C:与椭圆E:的一个公共点为A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,直线与圆C相切.
(1)求m的值与椭圆E的方程;
(2)设D为直线PF1与圆C 的切点,在椭圆E上是否存在点Q ,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形 若存在,请指出共有几个这样的点 并说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知函数,
试讨论的单调性;
若存在极值,求的零点个数.
21.(本小题满分14分)
已知,数列满足:
(1)求数列的通项公式;
(2),当时,都在区间(0,1)内变化,且满足时,求所有点所构成图形的面积;
(3)当时,证明:
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数学试题(理科)参考答案
一,选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
D
A
D
B
二,填空题
9. 10.
11. 12.4,
13.8 14. 15.
三,解答题
16.解:(Ⅰ)
. …………………………… 4分
函数的最小正周期为2. …………………………… 6分
(Ⅱ)∵,.
…………………………… 8分
…………………………… 12分
17.取中点,连,∵为正三角形,∴,
∵在正三棱柱中,平面平面,
∴平面 ……………2分
取中点为,以为原点,,,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则, ………4分
∴,
∵,,
∴,,∴平面.………………………………………6分
(2)设平面的法向量为,.
,∴,∴,解得,
令,得为平面的一个法向量, ………………………………9分
由(1)知平面,∴为平面的法向量,
,
∴二面角的余弦值大小为. ……………………………12分
18.解: (1)若=2099,则
而= …………………………2分
∴估计值与实际值的误差为:
即估计值与实际值的误差在5%以内 ………………………4分
(2)由题意,每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2, 投掷10000个点有个点落入区域M内,则 …………………………7分
∴ …………………………9分
(3)I与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率为
=0.9871 …………………………14分
19.解(1)∵点A(3,1)在圆C上,∴
又,∴ …………………………2分
设,∵
∴直线的方程为 …………………………4分
∵直线与圆C相切
∴ …………………………6分
即
由 解得
∴椭圆E的方程是 …………………………7分
(2) 直线的方程为
由得切点 …………………………10分
又∵P(4,4), ∴线段PD的中点为M(2,3)
又∵椭圆右焦点
又,∴线段PD的垂直平分线的斜率为 -2 …………………………12分
∵,∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点
即在椭圆上存在两个点Q,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形. ………………………14分
(或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明)
20.解:(1)函数的定义域为
………………………2分
方程的判别式
(i)当时,,在的定义域内,是增函数………3分
(ii)当时,
若,,是增函数
若,,那么时,,且在处连续,所以是增函数 ………………………4分
(iii)当或时,,方程有两不等实根
当时,,当时,恒成立,
即,是增函数
当时,,此时的单调性如下表:
0
0
增
减
增
………………………6分
综上:当时,在是增函数
当时,在,是增函数,
在是减函数…………………7分
(2)由(1)知当时,有极值
∵ ,∴
且 …………9分
∵在是增函数,在是减函数,
∴当时,,即在无零点 …………10分
当时,是增函数,故在至多有一个零点…………11分
另一方面,∵,,则
由零点定理:在至少有一个零点 ……………………13分
∴在有且只有一个零点
综上所述,当存在极值时,有且只有一个零点. ………………14分
21.解:(1)∵
∴ ……………………2分
∴是以为首项,p为公比的等比数列
因此,即 ……………………3分
(2)∵当时,,
由,得 ……………………4分
∵
又∵
而
∴
即对满足题设的所有点在区域:内……………………6分
而对区域内的任一点,
取,
则,
即,使得,都是()中的点
综上可知,点构成的图形是如图所示的圆,其面积为 …………………8分
(3)∵………………9分
∴ …………………10分
…………………12分
∴ …………………14分
表2.试题知识分值分布
文科
理科
知识版块
题号
分值
题号
分值
集合与逻辑
1,6
10
函数与导数
3,8,20
24
立体几何
4,17
17
平面解析几何
10,19
19
算法初步
12
5
概率与统计
5,11,18
24
平面向量与三角
9,16
17
数列
7,21
19
推理与证明
复数
1
5
坐标系与参数方程
5
10
几何证明选讲
5
不等式选讲
5
开始
结束
输入x
是
否
输出x,k
A
B
C
A1
B1
C1
D
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