数学之美_______________________ _______________ 2006年7月第1期
运用主成分分析法建立MP3播放器选购评价体系
经济学院 金融学系_
季久云 0312047_ 许颖0312122_ 侯燕伟 0312045
摘_ 要：本文分析了利用多个指标对事物进行评价的问题，采用主成分分析法对其进行了分析，并建立了一个可以广泛使用的模型进行解决，给出了具体的操作方法。本文还以MP3市场上比较受欢迎的几种机型为例，进行了具体的排序。本文给出了包括从指标的搜集，数据的处理，结果的分析，误差的分析在内的具体操作的各个步骤。
关键词：mp3；主成分分析法；排序
一、_ 背景介绍
Mp3，简单说来，是一种音频文件，是应用于MPEG-1的一项音频压缩技术标准，英文全称是MPEG-1 Audio Layer3。这种音频文件广泛的应用于网络与音乐传播。因为这种技术的实用与成熟，mp3音频播放器也就相应诞生了。这里所说的mp3播放器也就是我们平常所说的mp3,它作为一个独立播放mp3文件的硬件单独存在。因为它的音乐播放性、多功能性和其优越的便利性很快就在数码产品中占有了自己的一席之地。因为其构造相对简单，所以外形也就可以做的多种多样五花八门。
我们可以先做一个横向比较来领略这个小东西的魅力。当今市场上的音频播放器有老式的单放机、CD播放器、MD播放器还有我们的后起之秀mp3。单放机的音频媒质是磁带，在慢慢的退出播放器市场。那么对于剩下的CD、MD、mp3，我们怎么样来做一个比较呢？
音乐播放首先考虑的是音质，给一个公认的说法是CD最好，MD次之，mp3排在末尾，这是绝对公正的理论结论。而这些区别，也只有真正的发烧友才会拿来详细比较，对一般的消费者而言，我不太相信他能单从一个好得不能再好的耳机播放出的音乐来分辨这是CD或是mp3。而且在实际使用中，SP的MD文件和320k的mp3文件都可以达到很接近cd音质的水平。
再从价格方面比较。MD是市面上最贵的播放器种类，然后是CD，最便宜的是mp3。当然这也只能够是相对的。应用性方面来说，MD是日本开发的用以继承传统WALKMAN的播放器，虽然有比较成熟的发展，但最大的应用市场还是中国和日本，在其他国家的应用远不及在中国的这种势头。虽然MD在研发方面仍在不断进步不断成熟，但未来的发展趋势看起来总是比较黯淡。CD被称之为经典，至少以现在的说法，它是永远不会落伍的。而mp3作为一匹黑马，受到广泛的看好，在网络迅速发展的今天，mp3将会是绝对的主流。
在实用性方面说来，mp3的存储机制最为方便。仅仅依靠一块FLASH（或者是硬盘），方便的擦写模式，而且音乐文件随手可得，不像CD和MD受到了存储媒质的限制。其功能也较之强大，不仅可以播放mp3文件，还可以播放WMA甚至有些可以播放mp2、asf文件。许多mp3支持FM，支持录音，支持文本阅读和音频自动编码。设计工艺和解决方案越来越人性化，有什么理由让我们不为这小小的机器而心动呢？
在时下的mp3的市场盘点中，各式各样的品牌、机型让人眼花缭乱，各大小厂商在这场硝烟弥漫的数码产品竞争中更是使出浑身解数，不停地推出新的机型和新的营销策略，使本来就热闹非凡的mp3市场更是火得混乱。同时也扩大了消费者在此类数码产品的选择空间。但是由于mp3市场的火热所导致的次序混乱，给消费者的购买行为也带来了选择上的不便。
二、_ 问题的提出
究竟如何选购MP3？选择标准是什么？大众比较喜欢的品牌是什么？如何建立一个科学的通用的评价体系，就成为一个值得探讨的问题。
评价一款Mp3播放器，可以从很多方面考虑，比如：音质，价格，品牌和各种功能等。
由于指标众多，我们需要找出相对比较重要的方面，然后据此来对具体的品牌型号的播放器进行排序比较。
应当注意到：不同的消费者考虑的主要方面或者对同一方面的重要程度的评价有差异。对于具体某机型的具体指标的打分也会存在着差异。
因此，要搜集比较广泛的打分样本，取得比较公正客观的打分，进行比较合理的分析。另外，由于可能出现很多的决定因素，而有些因素在评估的模型中的重要性很小，所以我们可以对评估模型进行合理的简化。这就要用到主成分分析法。
三、 模型的假设
_____________ 1．我们经过调查，把所有可能的比较重要的因素都收集到，不存在遗漏。
2．同学们打分时都很认真。
四、符号说明
_____________ X1：初始打分矩阵，
_____________ X： 舍弃总分很低的指标后的矩阵，
XS：标准化后的矩阵，
R： XS的协方差矩阵。
五、模型的建立
_____________ 首先，经过调查询问，及网上浏览，我们得到了一组相关的指标，共18项：