几何概型的疑难剖析
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型.
在几何概型中,事件A的的概率的计算公式如下:
由此分析,几何概型应满足以下两个条件:
每次试验的结果有无数多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示:即,结果的无限性.
每次试验的各种结果发生的概率都相等:即等可能性.
下面就几何概型的典型例题作以剖析
典型例题一:与长度有关的几何概型
有一段长为13米的木棍,现要截成两段,每段不小于5米的概率是多大
分析:从木棍的每一个位置截断都是一个基本事件,基本事件有无数多个,且在每一处截断的概率相等,所以是几何概型.
解:记事件A="截得的两段均不小于5米",从木棍的两端分别度量出5米,当截点位于中间部分时,满足条件,由题意,中间部分长度为13-5-5=3米,所以.
小结:求与长度有关的几何概型的步骤:
⑴.明确基本事件和所涉及事件包含的基本事件;
⑵.用字母表示有关的事件,如;
⑶.求;
⑷.求
练习:在半径为1的圆周上任取两点,连接两点成一条弦,求弦长过此圆内接正三角形的概率.
分析:如图,不妨固定一点A,则B点可在圆周上(除A点外)任何位置,且在每个位置的可能性相等,所以是几何概型.
解:记事件A="弦长超过圆内接正三角形的变长",整个圆周长,
当,所以,由题意,点B落在
上时满足条件,所以.
典型例题二:与角度有关的几何概型
如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在内的概率.
分析:以O为起点,在该平面直角坐标系内做射线OA是随机的,落在
每一个位置是等可能的,符合几何概型.
解:记事件A="射线OA落在内",由当射线OA
任意作时,覆盖整个坐标系,所以.
小结:此题的关键是确定在平面直角坐标系中作射线OA是任意的,而且是均匀的,因而基本事件是等可能的.
练习:在等腰直角三角形ABC中,过顶点C在内作一条射线CD与线段AB交于D,求的概率.
分析:射线CD在 内是均匀分布的,它在其内每一个位置的可能性相等,
所以是与角度有关的几何概型.
解:记事件A="",是试验所有结果构成的区域,在
线段AB上取一点E满足AE=AC,则,,
,则可以看成是事件A构成的区域,所以
警示:此题易错解为:在线段AB上任取一点E,使AE=AC,则事件A发生的概率为
错误在于对几何概型的概念把握不准确,即射线CD在内是均匀分布的,它与AB的交点D在AB上不是随射线均匀分布的,即点D落在AB上任何一个位置的可能性不同,故不应用线段长度作几何度量,而应用角度作集合度量.
典型例题三:与面积有关的几何概型
甲乙两艘轮船事项一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能性的,求:如果甲船和乙船停泊时间均是4个小时,它们中任何一条船不需要等待码头空出的概率.
分析:甲乙两艘船在一昼夜的任何时刻刻到达,可用平面直角坐标系的x轴表示甲船到达码头的时刻,用y轴表示乙船到达码头的时刻,则x轴O到24与纵轴O到24的正方形中的任意一点的坐标(x,y)就表示甲乙两艘船的到达时间,而两艘船不需要等待时间由所对应的途中的阴影部分表示,由于每船到达的时间都是随机的,所以正方形内每个点都是等可能的,所以是与面积有关的几何概型问题.
解:设甲乙两艘船到达的时刻分别是x,y,则所有的实验结果构成集合,设事件A="两艘船都不需要等待",则所求结果构成集合.画图如下:
则,

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